Материал: Источник теоретического материала

где − амплитуда вынужденных колебаний; − начальная фаза

Уравнение (18.16) описывает движение, называемое биениями. В этом движении амплитуда вынужденных колебаний A_в(t) является периодической функцией времени. График колебаний, описываемых уравнением (18.16), показан на рис. 18.3.

Рис. 18.3

Влияние вязкого сопротивления на вынужденные колебания линейной механической системы с одной степенью свободы

Перейдем теперь к изучению движения линейной механической системы, на которую помимо гармонической возмущающей силы , где Р₀ и p − амплитуда и частота изменения возмущающей силы, действуют силы вязкого сопротивления.

Предположим, что кинетическая и потенциальная энергии системы приведены к виду: ; , где а и с − коэффициенты инерции и жесткости; , − обобщенная координата и обобщенная скорость системы, а диссипативная функция Релея записывается следующим образом:

,

где b − коэффициент, характеризующий силы вязкого сопротивления.

Обобщенную силу вязкого сопротивления найдем по формуле (17.4):

.

Подставляя Т, П, Q^P и Q^R в уравнения Лагранжа II рода

,

получаем:

.

Отсюда

, (18.17)

где ­ коэффициент затухания; .

Уравнение (22.17) представляет собой дифференциальное уравнение вынужденных колебаний линейной механической системы при наличии вязкого сопротивления.

Обще решение линейного дифференциального уравнения (18.17) будем искать в виде суммы общего решения q₁ однородного уравнения (17.6) и частного решения q₂ неоднородного уравнения (17.7):

q=q₁+q₂. (18.18)

Общее решение q₁ получено выше и в зависимости от соотношения между параметрами k и n имеет вид (17.9), (17.11) и (17.12).

Частное решение q₂ найдем способом неопределенных коэффициентов. Для этого будем искать q₂ в виде:

, (18.19)

где А_в,  — некоторые пока неизвестные постоянные.

Найдем первую и вторую производные по времени:

, . (18.20)

Преобразуем правую часть уравнения (18.17):

.

(18.21)

Подставим (18.19), (18.20) и (18.21) в (18.17):

Для того, чтобы это равенство выполнялось в любой момент времени, необходимо приравнять коэффициенты при и в обеих частях этого уравнения:

.

Решая эту систему, определяем постоянные А_в, :

, .

Перепишем выражение (18.17) в виде:

. (18.22)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения (18.17) в зависимости от соотношения между k и n выглядит следующим образом:

1. при

; (18.23)

2. при

; (18.24)

3. при

. (18.25)

Постоянные А, , С₁ и С₂ в этих уравнениях представляют собой постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям (при t=0 , ).

Уравнения (18.22)-(18.24) показывают, что движение линейной механической системы, описываемое этими уравнениями, представляет собой наложение затухающих колебаний (при ) или апериодического движения (при ) на собственно вынужденные колебания. При этом первые слагаемые в (18.22)-(18.24), содержащие экспоненциальный множитель , быстро уменьшаются с течением времени. Поэтому в установившемся режиме движение практически представляет собой только собственно вынужденные колебания, происходящие по закону (18.22):

.

Исследуем вынужденные колебания линейной механической системы при наличии сил вязкого сопротивления.

Уравнение (18.22) показывает, что движение системы представляет собой гармонические колебания. Их амплитуда не изменяется с течением времени. Это объясняется тем, что потери энергии на преодоление сопротивления движению системы в точности компенсируются притоком энергии от источника колебаний.

Частота вынужденных колебаний системы при наличии вязкого сопротивления равна частоте p изменения возмущающей силы, а фаза этих колебаний ) отстает от фазы возмущающей силы (pt) на величину , называемую сдвигом фазы. Сдвиг фазы изменяется в пределах и определяется формулой

.

Графики зависимости сдвига фазы  от отношения частот для различных значений коэффициента затухания n показаны на рис. 18.4.

Рис. 18.4

Для выявления зависимости амплитуды вынужденных колебаний системы от частоты p изменения возмущающей силы определим коэффициент динамичности  как отношение амплитуды вынужденных колебаний к статическому отклонению системы под действием силы Р₀:

.

Графики зависимостей при различных значениях коэффициента затухания n показаны на рис. 18.5.

Рис. 18.5

1 Центр масс является частным случаем общего понятия – центра H приложенных векторов (центра Гамильтона), радиус-вектор которого определяется формулой:

,

где – радиус-вектор центра приведения О; , , – главный вектор, главный момент и главный вириал системы векторов относительно центра приведения О.

215