Материал: Источник теоретического материала

Рис.2

Если же изучать движение двух тел как единого объекта, то силы и становятся внутренними и их геометрическая сумма должна равняться нулю, т.е. силы в этом случае взаимно уравновешиваются.

Из этого делаем важный вывод: внутренние силы – силы взаимодействия отдельных частиц тела или отдельных частей составной конструкции взаимно уравновешиваются: их главный вектор и главный момент внутренних сил относительно любого центра равны нулю.

Это свойство внутренних сил используется при решении задач механики (и в статике и в динамике).

Различные виды связей. Реакции связей

Рассматривая в конкретной задаче какую-либо конструкцию как несвободное твердое тело, надо обратить внимание на связи – тела, с которыми взаимодействует конструкция. Отбрасывая связи, чтобы несвободное тело превратить в свободное, надо учесть реакции связей – силы, приложенные к конструкции.

Направление и величина реакции той или иной связи определяются в результате решения задачи, в которой известны внешние силы, приложенные к конструкции, как нагрузка. Нагрузка на конструкцию задается либо в виде сосредоточенной силы (сила на рис.2.3), либо в виде распределенной нагрузки (по заданному закону) интенсивностью q (погонная нагрузка), либо в виде пары сил с моментом М.

Рис.3

Решая задачу надо показать реакции связей – различных опор конструкции. Как это сделать? Все зависит от вида связи.

П еречислим основные виды связей и покажем их реакции (рис.4).

1 ) 2) 3) 4)

5 ) 6) 7)

8 ) 9) 10)

Рис.4

1) абсолютно гладкая поверхность, с которой соприкасается конструкция. Реакция такой связи направляется по нормали к общим соприкасающимся поверхностям.

2) Гладкая угловая опора. Реакция направляется по нормали к поверхности тела, опирающегося на угол.

3) Подвижная (катковая) шарнирная опора . опирающаяся на гладкую плоскость. Реакция опоры направляется по нормали к опорной поверхности.

4) Неподвижная шарнирная опора. Направление реакции не известно. При решении задачи такую реакцию следует представить в виде двух взаимно перпендикулярных составляющих, после определения которых можно установить и величину и направление реакции опоры.

5) Стержневая опора – невесомый, недеформируемый стержень шарнирно связан как с фундаментом, так и с конструкцией. Реакция такой опоры направляется вдоль стержня (по оси стержня).

6) Гибкая связь (нить, трос, цепь) – невесомая, недеформируемая, работающая только на растяжение. Реакция такой связи направляется вдоль нити.

7) Жесткая заделка. Реакция содержит силу и пару сил, препятствующую повороту конструкции. Силу представляют двумя взаимно перпендикулярными составляющими, а пару сил – ее моментом.

8) Шаровой сферический шарнир. Реакция должна быть представлена тремя взаимно перпендикулярными составляющими; определив их, можно найти величину и указать направление реакции шарнира.

9) Цилиндрический подшипник (дверная или форточная петля). Реакцию следует представить двумя взаимно перпендикулярными составляющими в плоскости, перпендикулярной оси подшипника (без учета трения покоя).

10) Подпятник (цилиндрический упорный подшипник в виде стакана с дном). Реакция должна быть представлена тремя составляющими, из которых две взаимно перпендикулярные составляющие располагаются в плоскости, перпендикулярной к оси подпятника, а третья составляющая направляется вдоль оси.

Во всех случаях предполагаемое направление каждой из составляющих реакции связи совпадает с действительным ее направлением, если при решении задачи величина составляющей положительна, и наоборот, если величина составляющей отрицательна.

Лекция 2

Система сходящихся сил. Сложение сил геометрическим способом. Условие равновесия сил . Проекции силы на ось и на плоскость. Определение равнодействующей аналитическим способом. Уравнения равновесия сил. Теорема о равновесии трех сил

Система сходящихся сил

2.1. Определение. Сложение сил геометрическим способом. Условие равновесия сил

С илы, приложенные к телу, линии действия которых пересекаются в одной точке, образуют систему сходящихся сил (рис2.1).

Рис.2.1

Приложим заданные силы к точке О. Для сложения сил используем параллелограмм сил. Силы и дают равнодействующую . Эту равнодействующую складываем с силой , построив еще один параллелограмм, получим равнодействующую сил и , т.е. равнодействующую трех сил . И так далее. Рассматривая картину построений, приходим к выводу, что можно получить результат сложения всех заданных сил построением силового многоугольника, откладывая силы друг за другом, как показано на рис.2.2. Замыкающая сторона векторного (силового) многоугольника (он в общем случае не лежит в одной плоскости) определяет равнодействующую – одну силу, эквивалентную заданной системе сил (надо обратить внимание на «правило стрелок»: обходя многоугольник по контуру, замечаем, что равнодействующая направлена противоположно направлению обхода).

Рис2.2

В результате сложения сил получается одна сила – равнодействующая, равная геометрической сумме сил: .

Если силовой многоугольник замкнут (вектор последней силы заканчивается в точке, где начинается вектор первой силы (см.рис.1.2), то равнодействующая не существует, и сходящиеся силы взаимно уравновешиваются. Условие равновесия сходящихся сил: .

3.2. Проекции силы на ось и на плоскость. Определение равнодействующей аналитическим способом. Уравнения равновесия сил

Проекция силы на ось, имеющую заданное ей направление (с помощью единичного вектора-орта), определяется построением, приведенным на рис.2.3. Из точек А и В на ось Оx опускаются перпендикуляры, определяющие отрезок ab лежащий на оси.

Рис.3.3

Длина этого отрезка равна проекции силы на ось Ox - , так же определяется проекция силы на ось Oy - . Получаем , где - угол между вектором и осью Ox; . Но (острого угла) > 0, следовательно , а < 0, следовательно .

Проекция силы на ось – это скалярная величина, она может быть положительной, отрицательной и равной нулю.

П роекция силы на плоскость (рис.2.4, см.также рис.1.1) – вектор, величина и направление которого определяются опусканием перпендикуляров из точек А и В на плоскость xOy: - (модуль вектора ).

Рис.2.4

Зная проекции сходящихся сил, приложенных к телу, можно определить равнодействующую сил аналитическим способом (без построения силового многоугольника). Как видно из рис.2.2 проекции равнодействующей на оси Ox и Oy равны алгебраическим суммам проекций заданных сил на эти же оси: и .

Отсюда следует, что модуль вектора R можно найти по формуле

.

Аналогично, в случае сходящихся сил, не лежащих в одной плоскости, - , или (имеются в виду прямоугольные координатные оси x, y, z).

Направление вектора в пространстве определяют направляющие косинусы углов, которые составляет с осями координат, - ; ; .

Теперь можно записать условия равновесия сил в аналитической форме: уравнения равновесия сходящихся сил. Так как при равновесии сил , то ; ; .

Если силы лежат в одной плоскости, то для решения задач используются два уравнения равновесия, а если силы, приложенные к телу, лежат на одной прямой, то достаточно одного уравнения равновесия.

2.3. Теорема о равновесии трех сил

Если к телу приложены три непараллельные взаимно уравновешивающиеся силы, то они образуют систему сходящихся сил (линии действия этих сил пересекаются в одной точке).

Д ве силы и (рис.2.5) образуют равнодействующую , которая при равновесии сил (что считается известным) равна силе по модулю, лежит на одной прямой и направлена в противоположную сторону.

Рис.2.5

Следовательно, три силы пересекаются в одной точке (и лежат в одной плоскости).

Эта теорема часто используется при поиске величины и направления одной из реакций опор конструкции, к которой приложены 3 силы.

Лекция 3 Произвольная система сил в пространстве и на плоскости

Система пар сил. Сложение пар сил Условие равновесия пар сил. Уравнения равновесия. Система сил, произвольно расположенных в пространстве. Приведение силы к центру (метод Пуансо). Сложение сил

Сложение пар сил

Е сли к телу приложить пары сил, то можно использовать для их сложения векторы – моменты пар сил. Так как момент пары сил не изменяется при переносе пары сил в параллельную плоскость и не изменяется при перемещении пары сил в плоскости ее действия, то момент пары сил считается свободным вектором (в отличие от силы – скользящего вектора). А это означает, что векторы – моменты пар сил можно приложить к одной точке тела и сложить их по правилу сложения сходящихся векторов – построить векторный многоугольник, замыкающая которого определяет момент пары сил, эквивалентной заданной системе пар сил (см. рис.3.1).

Рис.3.1

Таким образом, , что означает, что в результате сложения пар сил получается одна пара сил, момент которой равен геометрической сумме моментов пар сил. Эту пару сил можно представить расположенной в плоскости, перпендикулярной к вектору и стремящейся повернуть тело вокруг оси, совпадающей с вектором против хода часовой стрелки, если смотреть вдоль вектора к его основанию. При этом пару сил могут образовывать любые две силы и ( ) так, чтобы произведение одной из сил пары на плечо пары сил было равно моменту М.

Условие равновесия пар сил. Уравнения равновесия

Пары сил, приложенные к твердому телу, взаимно уравновешиваются, если векторный многоугольник моментов пар сил замкнут, т.е. если .