Материал: Источник теоретического материала

Лекция 16 Свободные и вынужденные колебания механической системы с одной степенью свободы.

Виды колебаний. Свободные колебания линейной механической системы с одной степенью свободы без учета сопротивления. Влияние вязкого сопротивления на свободные колебания линейной механической системы с одной степенью свободы.

Виды колебаний.

По признаку физического единства колебательных движений различают свободные и вынужденные колебания.

Свободными называются механические колебания автономных систем, обусловленные начальным запасом механической энергии и происходящие без воздействия вынуждающей силы.

Вынужденные колебания – это механические колебания, вызванные и поддерживаемые вынуждающей силой или кинематическим возбуждением.

Кроме свободных и вынужденных колебаний существуют иные типы колебаний, принципиально отличающиеся от них. Это, во первых, параметрические колебания – механические колебания, вызванные и поддерживаемые параметрическим возбуждением, когда колебания происходят в связи с изменением во времени одного или нескольких параметров системы (массы, момента инерции, коэффициента жесткости и др.)..

Другим самостоятельным типом колебаний являются автоколебания – асимптотически устойчивые периодические колебания автоколебательной системы, как правило, поддерживаемые за счет энергии, поступающей от неколебательных источников энергии.

Обратимся вначале к изучению свободных колебаний.

Свободные колебания линейной механической системы с одной степенью свободы без учета сопротивления

Рассмотрим механическую систему с одной степенью свободы, находящуюся только под действием сил, имеющих потенциал. Пусть кинетическая и потенциальная энергии системы приведены к виду:

; , (17.1)

где а и с − коэффициенты инерции и жесткости; , − обобщенная координата и обобщенная скорость системы.

Подставляя (17.1) в уравнения Лагранжа II рода (15.20), получаем

.

Или

, (17.2)

где − циклическая (собственная) частота свободных колебаний.

Уравнение (17.2) представляет собой дифференциальное уравнение свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы без учета сопротивления.

Решение дифференциального уравнения (20.2) ищем в виде:

, (17.3)

где А − амплитуда свободных колебаний;  − начальная фаза колебаний.

Продифференцируем это равенство по времени:

(17.4)

Постоянные интегрирования А и , определим из начальных условий. Пусть в момент времени t=0 начальная обобщенная координата имела значение q(t=0)=q₀, а начальная обобщенная скорость − значение . Подставляя эти условия в (17.3) и (17.4), находим:

; .

Период свободных колебаний определяется формулой:

.

График свободных колебаний показан на рис. 17.1.

Рис. 17.1

Движение механической системы часто удобно представить на фазовой плоскости.

Состояние системы в каждый момент времени t характеризуется значениями обобщенной координаты q и обобщенной скорости . На декартовой плоскости будем откладывать по оси абсцисс обобщенную координату x=q, а по оси ординат − обобщенную скорость y= .

Точка с координатами называется изображающей точкой, а указанная плоскость − фазовой плоскостью.

При движении системы изменяются ее фазовые координаты q и , поэтому изображающая точка будет перемещаться по фазовой плоскости, двигаясь по некоторой линии, называемой фазовой траекторией.

Рис. 17.2

На рис.17.2 показаны фазовые траектории материальной точки, совершающей равномерное и равноускоренное движения.

Совокупность всех фазовых траекторий называют фазовой диаграммой или фазовым портретом механической системы.

Построение фазовых траекторий особенно удобно для колебательных процессов. Например, для свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы, исключив время t из уравнений (17.3) и (17.4), получим уравнение эллипса:

.

Фазовый портрет этой системы показан на рис. 17.3

Рис. 17.3

Точка О называется особой точкой типа центр.

Полная механическая энергия Н₀ рассматриваемой консервативной системы в процессе колебаний сохраняется:

. (17.5)

Обратим внимание на то, что площадь, охватываемая фазовой траектории в виде эллипса, равна

, (17.6)

Сравнение (20.5) и (20.6) показывает, что площадь, охватываемая фазовой траекторией, пропорциональна полной механической энергии системы.

Влияние вязкого сопротивления на свободные колебания линейной механической системы с одной степенью свободы

Рассмотрим механическую систему с одной степенью свободы, находящуюся под действием сил, имеющих потенциал и сил вязкого сопротивления. Предположим, что кинетическая и потенциальные энергии этой системы выражаются формулами:

; , (17.7)

где и ­ коэффициенты инерции и жесткости системы.

Запишем уравнения Лагранжа II рода в виде:

, (17.8)

где ­ обобщенная сила вязкого сопротивления.

Если силы сопротивления, действующие на точки механической системы, пропорциональны первой степени скорости, то такое сопротивление называется вязким:

,

где - коэффициент вязкого сопротивления.

Найдем обобщенную силу вязкого сопротивления .

В соответствии с (15.4) имеем

. (17.9)

Так как , то с учетом (17.8), получаем:

;

, (17.10)

где ­ диссипативная функция Релея (функция рассеяния).

Преобразуем функцию рассеяния Ф:

.

Отсюда

,

где обозначено

.

Разложим нелинейный коэффициент в ряд Маклорена по степеням обобщенной скорости :

и сохраним только первое слагаемое в этом разложении .

Тогда функция Релея принимает вид:

. (17.11)

Подставляя (17.7) и (17.11) в (17.8), получаем

.

Отсюда

, (17.12)

где - коэффициент затухания; .

Уравнение (17.12) при n<k называется дифференциальным уравнением свободных колебаний при наличии вязкого сопротивления.

Для интегрирования дифференциального уравнения (17.12) составим характеристическое уравнение:

. (17.13)

Корни этого уравнения

. (17.14)

Рассмотрим три случая.

а) (случай затухающих колебаний).

В этом случае характеристическое уравнение (17.13) имеет два комплексно-сопряженных корня

.

Тогда общее решение уравнения (21.6) можно записать следующим образом

, (17.15)

где и ­ постоянные интегрирования; ­ частота затухающих колебаний.

Постоянные и определяются с использованием начальных условий. Пусть известно, что в начальный момент времени , .

Найдем выражение для обобщенной скорости системы. Для этого продифференцируем по времени обе части равенства (17.15):

. (17.16)

Подставим в (17.15) и (17.16) начальные условия:

;

.

Из этих уравнений находим:

; .

Движение, определяемое уравнением (17.15), носит колебательный характер. График затухающих колебаний показан на рис. 21.1.

Рис. 17.4

Период затухающих колебаний больше периода колебаний системы без учета вязкого сопротивления. Однако, при малом сопротивлении .

Амплитуда затухающих колебаний уменьшается с течением времени по экспоненциальному закону.

Найдем отношение двух последовательных максимальных значений обобщенной координаты в моменты времени и (рис.17.4):

.