Предположим, что один банк начисляет проценты по формуле (6.9), а второй – по формуле (6.10). Тогда при одинаковом конечном вкладе эти формулы можно приравнять друг другу. . (6.18)Если равны и начальные вклады, то . (6.19)В уравнение (6.19) входит три параметра. Зная любые два из них, можно найти и третий. Поэтому возможны три задачи:а) По известному времени вклада и величине простой ставки найти значение сложной ставки, при которой вклады будут равны.б) По известному времени вклада и величине сложной ставки найти значение простой ставки, при которой вклады сравняются.в) По известным значениям простой и сложной ставок найти время, при котором вклады сравняются.Первые две задачи можно решить с помощью элементарных преобразований. Например, для второй задачи: . (6.20)Однако для третьей задачи это невозможно, т.к. уравнение (6.19) относительно времени аналитически неразрешимо. Поэтому его следует переписать в виде . (6.21)и решить относительно t одним из численных методов. В Excel для этих целей служит средство «Подбор параметра». Математической основой данного средства является один из численных методов решения уравнений. При использовании любого из этих методов необходимо указание какого–то начального значения корня. При этом начальное значение должно быть как можно ближе к искомому корню. Все это не так существенно, если уравнение имеет один корень. Если же корней несколько, то неопытный пользователь может очень долго подбирать начальные значения. Все это имеет место в рассматриваемом случае. Здесь уравнение (6.21) имеет два корня, причем первый – тривиальный (при t=0). Второй же корень может быть либо положительным, либо отрицательным – все зависит от соотношения ставок. Если ставка по простым процентам больше ставки по сложным процентам, то второй (и нужный нам) корень является положительным. Если же имеет место обратная ситуация, то второй корень будет отрицательным.
Другими словами для рассматриваемой пары уравнений задача эквивалентности ставок имеет смысл только при c
2 < c
1. В принципе об этом будущим экономистам говорится в соответствующих курсах, но при практическом решении задачи это почему–то забывается.Поэтому выполнять свои варианты заданий рекомендуется по следующей схеме:
-
Рассчитать таблицу значений функции на выбранном интервале времен и на ее основе построить график функции. По данным таблицы или виду графика определить примерное положение второго корня.
Для рассматриваемого примера результат первого этапа приведен в табл. 6.5 и на рис. 6.1. Для получения таблицы в ячейку C6 введена формула:=1+ $C$2*B6 – (1+$C$3)^B6.Эта формула затем была скопирована в ячейки C7:C20. Для наглядности по данным ячеек B6:C20 можно построить график – рис. 6.1.Таблица 6.5.
|
A
|
B
|
C
|
D
|
1
|
|
|
|
|
2
|
|
Простая ставка
|
0,05
|
|
3
|
|
Сложная ставка
|
0,04
|
|
4
|
|
|
|
|
5
|
|
T
|
Y
|
|
6
|
|
0
|
0
|
|
7
|
|
1
|
0,01
|
|
8
|
|
2
|
0,0184
|
|
9
|
|
3
|
0,025136
|
|
10
|
|
4
|
0,030141
|
|
11
|
|
5
|
0,033347
|
|
12
|
|
6
|
0,034681
|
|
13
|
|
7
|
0,034068
|
|
14
|
|
8
|
0,031431
|
|
15
|
|
9
|
0,026688
|
|
16
|
|
10
|
0,019756
|
|
17
|
|
11
|
0,010546
|
|
18
|
|
12
|
–0,00103
|
|
19
|
|
13
|
–0,01507
|
|
20
|
|
14
|
–0,03168
|
|
21
|
|
|
|
|
Рис.6.1. График функции (6.21)Из таблицы и соответствующего ей рисунка следует, что функция пересекает ось X (т.е. имеет второй корень) при времени, примерно равном 12.
-
Полученное приближенное значение второго корня следует вводить в качестве начального при использовании средства «Подбор параметра» (рис. 6.2).
Для рассматриваемого примера:Рис. 6.2. Окно
Подбор параметраВ результате получим, что второй корень равен 11,88 лет.
-
Варианты заданий
Решить задачу об эквивалентности ставок для следующих сочетаний уравнений.
Вариант
|
Сочетание уравнений
|
Вариант
|
Сочетание уравнений
|
1
|
(6.9) – (6.11)
|
9
|
(6.11) – (6.13)
|
2
|
(6.9) – (6.12)
|
10
|
(6.13) – (6.13)
|
3
|
(6.9) – (6.13)
|
11
|
(6.13) – (6.14)
|
4
|
(6.9) – (6.14)
|
12
|
(6.13) – (6.15)
|
5
|
(6.9) – (6.15)
|
13
|
(6.13) – (6.17)
|
6
|
(6.9) – (6.17)
|
14
|
(6.14) – (6.16)
|
7
|
(6.10) – (6.13)
|
15
|
(6.15) – (6.16)
|
8
|
(6.10) – (6.16)
|
16
|
(6.16) – (6.17)
|
ПримечаниеВ тех вариантах, где присутствуют уравнения амортизации, начальная стоимость оборудования и величина начальной стоимости вклада не равны. При этом должно выполняться соотношение:S
0 > P.Смысл этого соотношения можно пояснить на примере следующей задачи:Имеется P ден. средсв, которые мы можем положить в банк под проценты. Имеется оборудование (дом, ТС…) со стоимостью S
0. В начальный момент времени S
0 > P , которое затем удешевляется с каждым годом в силу его амортизации.
Через какой промежуток времени, мы сможем приобрести данное оборудование.
6.5. Методы анализа проектов
(использование средства «Подбор параметра»)
6.5.1. Термины и определения
При выполнении заданий используются следующие понятия [4]:
1. Затраты (или расходы) – означают некие суммы, вложенные в инвестиции или проекты. При вычислениях вводятся в ячейки листа или в формулы со знаком «минус».
2. Доходы – означают некие суммы, полученные в результате реализации проектов. При вычислениях вводятся в ячейки листа или в формулы со знаком «плюс».
3. Прибыль. Рассчитывается по формуле:
Прибыль = Доходы – Расходы (6.22)
4. Рентабельность. Рассчитывается по формуле:
Рентабельность = Доходы / Расходы (6.23)
5. Индекс рентабельности. Определятся как величина рентабельности, выраженная в процентах.
ИндексРентабельности = Рентабельность * 100% (6.24)
6. Поток платежей. Представляет собой график денежных поступлений в ходе выполнения инвестиционного проекта.
Таблица 6.6
Годы
|
0
|
1
|
2
|
3
|
Платежи
|
– 40
|
15
|
25
|
20
|
Представленный в табл.6.6 поток платежей означает, что в начальный год инвестиции (проекта) мы вложили в него 40 млн. руб., а в последующие годы получили (или должны получить) доходы в размере 15, 25 и 20 млн. руб.7.
Ставка дисконтирования (или норма прибыли) – это процентная ставка, используемая для перерасчета будущих потоков доходов в единую величину текущей стоимости. Данная величина зависит от ряда факторов, прежде всего, от ставки рефинансирования, уровня инфляции, финансовой устойчивости конкретного предприятия.
8. Срок окупаемости.Под обыкновенным сроком окупаемости (PP) инвестиционного проекта понимают временной интервал, в течение которого сумма доходов, полученных от реализации проекта, окажется равной инвестиции.