Материал: Кратные интегралы. Векторный анализ. Учебное пособие по решению задач и выполнению типовых расчетов. Катрахова А.А., Купцов В.С

Задачи для самостоятельного решения

Задача 3.14. Вычислить интеграл

Задача 3.15. Будет ли криволинейный интеграл

x2 y2 xdx ydy

L

по любому замкнутому контуру, будет равен нулю. Подтвердить полученное заключение непосредственным вычислением, по какому-нибудь замкнутому контуру.

Указание. Проверить, является ли подынтегральное вы-

вопрос задачи.

Выбрать в качестве замкнутого контура, например, окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Параметрические уравнения такой окружности имеют вид:

56

x cost

(0 t 2 ).

y sint

Задача 3.16. Убедившись, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить следующие интегралы:

(вдоль путей, не пересекающих координатных осей и не проходящих через начале координат).

(вдоль путей, которые не пересекают биссектрису первого и третьего координатных углов).

3.4. Формула Грина. Вычисление площадей с помощью криволинейного интеграла второго ряда

Криволинейный интеграл по простому замкнутому гладкому контуру L, ограничивающему односвязную область D может быть преобразован в некоторый двойной интеграл по области D, ограниченной этим контуром.

Это преобразование выполняется по формуле Грина, которая имеет вид:

на контуре L, который ее ограничивает, причем, контур L, пробегается в положительном направлении, т.е. так, что область D остается слева.

Если формулу Грина прочесть справа налево, то можно сказать, что она сводит вычисление двойного интеграла по области D к вычислению криволинейного интеграла взятого по контуру L, ограничивающему эту область.

Формула (3.17) справедлива не только для области D указанного вида, но и для более сложных областей, ограниченных несколькими простыми гладкими контурами. В случае:

P x, y dx Q x, y dy ,

L

следует рассматривать как сумму интегралов по составляющим контурам, причем, интегрирование по этим контурам должно вестись в таком направлении, чтобы область D оставалась слева.

Многие криволинейные интегралы, взятые по замкнутому контуру, удобно вычислять, сводя их к двойному.

Задача 3.17. Вычислить, применяя формулу Грина, инте-

грал.

x2 ydx xy2dy ,

L

где L – окружность х2 + у2 = а2, пробегаемая в положительном направлении.

Подставляя эти значения в формулу (3.17), получим:

58

где D – круг, ограниченный окружностью х2 + у2 = а2. Вычисление полученного интеграла удобно провести в полярных ко-

ординатах, при этом элемент площади dxdy = rdrd , а х2 + у2 = r2. Получим

Задачи для самостоятельного решения

Задача 3.18. С помощью формулы Грина вычислить инте-

грал

С – замкнутый контур, составленный дугами двух окружностей

Рис. 3.1

59

В данной задаче удобно перейти к полярным координатам

Задача 3.19. Криволинейный интеграл из предыдущей задачи и по тому же контуру вычислить, не прибегая к формуле Грина.

Указание. Уравнения окружности преобразовать к параметрической форме. Получим уравнение:

а на дуге DА от 3 до 4 .

Интегралы по этим двум дугам взаимно уничтожаются.

на отрезке СD от 1 до 21 .

С помощью интеграла второго рода, площадь плоской фигуры, ограниченной кусочно-гладкой кривой вычисляется, по формуле:

60