Материал: Математические методы и модели в экономике. лабораторный практикум. Амелин С.В

n

aij x j bi ( i 1..m ) (5.2)

j 1

- столько получается заготовок i-го вида при всех вариантах раскроя. Исходя из условия комплектности получим следующие ограничения по плану производства:

Суммарная величина отходов должна быть минимальной, тогда функция цели примет вид:

n

C j X j min. (5.4)

j 1

Задача может быть решена и на максимизацию комплектного выпуска продукции, тогда функция цели будет иметь вид: k → max.

Пример расчётов в задаче оптимального раскроя материалов. Из металлических труб длиной по 6 м каждый, имеющихся в количестве 100 шт. необходимо изготовить конструкцию, изображенную на рис.5.1.

2 м

1,5 м

2,5 м

3 м

Рис. 5.1. Форма и размеры элементов конструкции

Требуется найти оптимальный план раскроя материала при условии получения полных комплектов конструкций из имеющегося материала, дающий минимальное количество отходов.

Решение.

Имеется N = 100 шт. исходного материала (труб). Длина трубы L = 6 м.

65

Деталей на один комплект требуется: длиной 1,5 м - 2 шт., длиной 2 м - 2 шт., длиной 2,5 м - 3 шт., длиной 3 м - 2 шт.

Определим все возможные варианты раскроя исходного материала с помощью графического построения.

Получаем 11 вариантов раскроя материала (труб):

Представим в табличном виде количество различного вида заготовок, получаемых с помощью всех возможных вариантов раскроя и требование по комплектации изделия.

66

Количество заготовок по вариантам раскроя

В соответствии с имеющимися вариантами раскроя и условиями комплектности, получаем общее количество

3-х метровых заготовок 2Х1+Х2+Х3+Х4=2k; 2,5 метровых заготовок Х2+2Х5+Х6+Х7=3k;

2-х метровых заготовок Х3+Х6+3Х8+2Х9+Х10=2k;

1,5 метровых заготовок 2Х4+2Х6+2Х7+Х9+2Х10+4Х11=2k. Ограничение по исходным материальным ресурсам:

Х1 + Х2 + Х3 + Х4 + Х5 + Х6 + Х7 + Х8 + Х9 + Х10 + Х11 = 100

Функция цели (при условии минимизации отходов): f(x)= 0,5Х2+Х3+Х5+0,5Х7+0,5Х9+Х10 → min.

Приведем задачу к каноническому виду. Обозначим количество комплектов k через переменную Х12, тогда модель примет вид:

Х1+Х2+Х3+Х4+Х5+Х6+Х7+Х8+Х9+Х10+Х11 = 100 2Х1+Х2+Х3+Х4–2Х12 = 0 Х2+2Х5+Х6+Х7–3Х12 = 0 Х3+Х6+3Х8+2Х9+Х10–2Х12 = 0

2Х4+Х6+2Х7+Х9+2Х10+4Х11–2Х12 = 0 Xj ≥ 0, j = 1, 2, …, 12,

функция цели (на минимум отходов)

f1(x) = 0,5Х2+Х3+Х5+0,5Х7+0,5Х9+Х10 → min,

функция цели (на максимум комплектов)

f2(x) = Х12 → max,

линейная комбинация целевых функций имеет вид f3(x)= f1(x) – f2(x) → min.

67

При использовании комбинированной целевой функции зададим первое ограничение в виде неравенства

Х1 + Х2 + Х3 + Х4 + Х5 + Х6 + Х7 + Х8 + Х9 + Х10 + Х11 100

Использование программы Раскрой длинномерного материала из ППП PRIMA позволяет, задав длину исходного материала и требуемые размеры заготовок, получить возможные

варианты раскроя и величину возможных отходов (рис. 5.2).

Рис. 5.2. Диалоговое окно программы «Раскрой длинномерного материала» из ППП PRIMA

Так же программа позволяет сформировать исходные данные для построения диаграммы вариантов раскроя (рис. 5.3).

Порядок построения диаграммы (рис. 5.4):

68

1)Выбрать Линейчатую диаграмму с накоплением или Цилиндрическую линейчатую с накоплением;

2)Ввести диапазон ячеек с данными для диаграммы;

3)Указать: Ряды - в столбцах;

4)В готовом графике щёлкнуть правой кнопкой мыши по цифрам вертикальной оси и в Формате оси указать:

Обратный порядок категорий;

5)Щёлкнуть правой кнопкой мыши по отрезкам линий и в

Формате ряда данных указать: Подписи данных – значения.

Ввод исходных данных и математических соотношений задачи в Excel представлен на рис. 5.5.

69