Материал: Математические методы и модели в экономике. лабораторный практикум. Амелин С.В
70
Рис. 5.5. Ввод исходных данных и математических соотношений задачи в Excel
Ячейки B9:L9 отводятся для размещения искомых переменных, означающих количество исходного материала, подвергаемое раскрою одним из одиннадцати способов. Ячейка М9 предназначена для размещения переменной, соответствующей количеству получаемых комплектов заготовок. В ячейки N3:N6 помещены выражения левых частей ограничений задачи с помощью функций СУММПРОИЗВ, аргументами которых являются коэффициенты при переменных в ограничениях и искомые переменные. В ячейках N7 и N9 расположены выражения для целевых функций, представляющих собой соответственно общую величину отходов (=СУММПРОИЗВ(B7:L7;B9:L9) которую следует минимизировать) и количество комплектов заготовок (которое следует максимизировать). Объединённая целевая функция в виде разности первых двух функций цели введена в ячейку М8. В ячейку А9 введено выражение для общего количества используемых единиц исходного материала (=СУММ(B9:L9)).
Заполнение диалогового окна программы Поиск решения показано на рис. 5.6.
Рис. 5.6. Диалоговое окно программы Поиск решения
71
Рис. 5.7. Первое альтернативное решение задачи раскроя
Задача имеет два альтернативных варианта решения, показанных на рис. 5.7 и 5.8. Так, при первом решении оптимальными вариантами раскроя будут № 1 (14 штук материала), № 2 (28 штук материала), № 6 (56 штук материала).
Рис. 5.8. Второе альтернативное решение задачи раскроя
Повторное решение данной задачи с помощью программы Поиск решения даёт следующие результаты:
1-м вариантом раскраивается Х1 = 28 прутков; 5-м вариантом раскраивается Х5 = 14 прутков; 6-м вариантом раскраивается Х6 = 56 прутков;
остальные 8 вариантов раскроя оказались невыгодны-
ми - Х2,3,4=0, Х7-11=0, отходы составили f1(x)=14 метров, количество комплектов f2(x)=28, число использованных единиц
исходного материала – 98 штук.
72
Задача раскроя плоскостного (листового) материала
Пример модели раскроя листового материала Пусть необходимо раскроить 100 листов стального про-
ката размером 2,5 1,5 м на прямоугольные заготовки А, Б, В размерами: А – 2 1 м, Б – 1 0,75 м и В - 0,5 0,5 м, в ассортименте 1 : 4 : 12. Требуется разработать оптимальный план раскроя листов стального проката.
Возможные различные способы раскроя листов стального проката на заготовки показаны на рис. 5.2. В таблице приведены данные о количестве заготовок и отходах, получаемых при различных способах раскроя. Из таблицы видно, что в результате раскроя листов всеми способами получим заготовки различного типа и соотнесем их с ассортиментными требованиями:
заготовок А - Х1 = 1 k; заготовок Б - 4Х2+3Х3 = 4 k;
заготовок В - 7Х1+3Х2+5Х3+15Х4 =12 k.
|
|
|
|
в |
|
Б |
Б |
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
в |
в |
|
в |
в |
|
|
А |
|
|
|
|
|
Б |
Б |
|
Б |
|
|
|
||||||||||||
|
|
в |
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
в |
в |
в |
|
в |
в |
||||||||
|
|
|
|
|
Б |
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в |
в |
в |
в |
в |
|
|
в |
|
в |
в |
в |
|
в |
в |
|
в |
в |
в |
в |
в |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
I |
|
|
|
|
II |
|
|
|
|
III |
|
|
|
|
|
|
|
IV |
|
|
|||
|
|
|
Рис.5.9. Возможные варианты раскроя листов |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Возможные варианты раскроя листа |
|
|
||||||||||||||||||
Вид заготовки |
Количество заготовок при способах раскроя |
|||
|
I |
II |
III |
IV |
А |
1 |
0 |
0 |
0 |
Б |
0 |
4 |
3 |
0 |
В |
7 |
3 |
5 |
15 |
Отходы Сj |
0 |
0 |
0,5 |
0 |
Количество листов исходного материала, раскраиваемых |
||||
|
|
|
|
|
j-м способом |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
Х4 |
В соответствии с формулой (5.1) ограничение по ресурсам листов равно
73
Х1 + Х2 + Х3 + Х4 = 100.
Обозначим количество комплектов k через переменную X5. Из соотношения заготовок в ассортименте в соответствии с формулой (5.3) находим ограничения
Х1 = 1 X5; 4Х2 + 3Х3 = 4X5;
7Х1 + 3Х2 + 5Х3 + 5Х4 = 12X5.
В канонической форме ограничения принимают следующий вид:
Х1 + Х2 + Х3 + Х4 = 100, Х1 – X5 = 0;
4Х2 + 3Х3 – 4 X5 = 0,
7Х1 + 3Х2 + 5Х3 + 15Х4 –12X5 = 0. Xj ≥ 0, j =1, 2, 3, 4, 5.
Целевая функция (на минимум отходов) равна f(X) = 0,5X3 min.
Целевая функция (на максимум комплектов) равна
f(X) = X5 max.
После расчетов на ЭВМ получаем решение:
Х1 = 47; Х2 = 37; Х3 = 0; Х4 = 6.
Таким образом, для сокращения отходов необходимо раскроить первым способом 47 листов, вторым - 37 листов и четвертым - 6 листов.
Математическая модель задачи раскроя с минимальным расходом материала:
Определить оптимальные варианты экономичного раскроя исходного материала для получения деталей в соответствии с планом (функция цели на минимум расхода материала)
n |
|
||
f(x) x j m in; |
(5.5) |
||
j 1 |
|
||
при следующих ограничениях |
|
||
(ограничения по плану производства) |
|
||
n |
|
|
|
aij x j bi ; ( i 1,m ) ; |
(5.6) |
||
j 1 |
|
||
(условие неотрицательности переменных)
74