Материал: Математика. вводный курс . учебное пособие для иностранных граждан слушателей подготовительного отделения. Некрасова Н.Н., Горяйнов В.В

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

УПРАЖНЕНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

64. Решить уравнения:

1)

x3 x2 10x 8 0;

13)

x3 4x2 x 6 0;

2)

2x3 x2

2x 1 0;

14)

3x3 4x2 5x 2 0;

3)

4x3 13x 6 0;

15)

x3

3x2 x 1 0;

4)

x3 3x 2 0;

16)

3x3 10x2 9x 2;

5)

2x 3 7x2

3x 2 0;

17)

5x3 3x2 28 0;

6)

x3

5x2

12 0;

18)

x3

x2 4x 4 0;

7)

x3

3x2

x 3 0;

19)

x3

6x2 4x 24 0;

8)

x3

5x2

2x 8 0;

20)

2x3 5x2 x 6 0;

9)

x3

x2 4x 2 0;

21)

x3

3x2 4x 12 0;

10)

x3

3x2

9x 27 0;

22)

4x3 3x2

7 0;

11)

8x3 4x2 5x 1 0;

23)

2x3 3x2 11x 6 0;

12)

x3

6x2

5x 12 0;

24)

x3 11x2

39x 45 0.

Тема 4. Уравнения с модулем

При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля (абсолютной величины), чаще всего применяются следующие методы:

1.Раскрытие модуля на основании его определения;

x, если x 0,

xx, если x 0;

2.Возведение обеих частей уравнений в квадрат;

3. Используя свойства модуля a 0 (в простейших уравнениях используется свойство 5).

1)a b a b

2)ab a b ;

3)1a 1a ;

4)a b a b

5)a 0.

86

Рассмотрим применение этих методов на примерах.

Пример. Решить уравнение 5x 2 8.

Решение.

Способ 1. По определению модуля данное уравнение равносильно совокупность двух систем:

5x 2 8,

2 5x 8,

а)

б)

0.

5x 2 0.

5x 2

Из системы a) находим x1 2 , из

системы

б) x2 1,2 . Оба корня

удовлетворяют своим неравенствам.

 

 

Способ 2. Т.к. обе части исходного уравнения неотрицательны, то возведем обе части уравнения в квадрат. Тогда исходное уравнение

равносильно уравнению (5x 2)2

82 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5x 2) 2 82 0 ;

 

 

 

(5x 2 8) (5x 2 8) 0 ;

 

 

(5x 10) (5x 6) 0, откуда

 

 

 

5x 10 0 или

5x 6 0

 

 

x

10

2 ;

x

 

6

1,2 .

 

 

 

 

 

 

1

5

 

 

2

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Способ 3. 5x 2 8,

5x 2 8.

 

 

 

 

 

 

5x 10,

 

 

x1

2;

5x 6,

 

x2 1,2.

Ответ: x1 2 ;

x2 1, 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. Решить уравнение 5x 2 x 6 .

Решение. Это уравнение также можно решить 3-мя способами. Если решать уравнение первым способом, то получим совокупность двух систем:

 

5x 2 x 6,

 

4x 8,

 

x

 

2,

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

а)

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

5x 2

0;

 

x

 

 

;

 

x

 

 

;

 

 

5

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6x 4,

 

x

2

,

 

2 5x x 6,

 

 

 

б)

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5x 2

0;

 

x

 

 

;

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

x

5

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При решении вторым способом, заметим что правая часть уравнения

87

(х+6) должна быть неотрицательна, т.е.

x 6 0 .

Тогда

 

при возведении в

квадрат обеих частей уравнения получим равносильную систему:

 

x 6 0,

x 6,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5x 2)2 (x 6)2 ;

25x2

20x 4 x2

12x 36.

 

Откуда 24x2 32x 32 0. Поделим на 8, получим

3x2 4x 4 0

 

D 16 48 64,

x

4 8

 

 

x 2 и

x

2

.

 

 

1,2

 

6

 

 

1

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оба корня удовлетворяют условию x 6 . Ответ: x1 2 ; x2 23 .

Пример. Решить уравнение x2 2x 1 2x 2 .

Решение. Согласно способу 3, перейдём от исходного уравнения к равносильной системе:

2x 2 0,

 

 

 

2x 1 2x 2,

x2

 

2

2x

1

2x 2;

x

 

x 1,

 

4x

x2

 

2

1

x

 

3 0,

0.

Откуда получаем: x2 4x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 имеет корни x 2 7 ,

x 2 7 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

Второе

 

 

уравнение совокупности

x2 1 0

не имеет решений. Остается

убедиться, что оба корня удовлетворяют неравенству x 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: x1,2 2 7 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

УПРАЖНЕНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

 

 

65. Решить уравнения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

4 x

 

 

 

 

 

5;

 

14)

 

x2 5

 

 

x

 

24 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

2x 3

 

 

 

x;

 

15)

 

x2 4

 

x2

 

4;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

9 x

 

3x 1;

 

16)

2x

 

x 13

 

 

8;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

 

 

 

2 x

 

 

2x 1;

 

17)

 

x2 3x 2

 

2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

 

 

 

x 7

 

2;

 

18)

3(x 2) 7

 

x

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

88

6)

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

2

;

 

 

19)

 

x 5

 

 

2 2x;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 1

 

 

 

19 3x;

7)

 

x2 1

 

 

x 5 0;

20)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8)

 

x2 x

 

3x 5;

21)

 

x 9

 

4x x 51;

 

 

 

 

9)

 

x 2

 

 

 

6 2x;

 

22)

x

 

x 2

 

 

 

15;

 

 

 

 

 

 

10)

 

 

3x2 12x 6

 

5x 4;

23)

 

x2

 

x 1

 

1 2x;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 18

 

0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11)

 

 

 

 

24)

 

x 1

x2 x 3

0;

 

 

 

 

 

12)

 

 

5x

 

x

 

 

48;

 

25)

 

3

 

x 1

 

5x 21.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13)x2 12 x 0;

Тема 5. Иррациональные уравнения

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня (радикала), называется иррациональным.

Прежде чем приступить к изучению данной темы необходимо повторить основные свойства корней степени n.

Здесь отметим следующие свойства корней, которыми мы постоянно будем пользоваться при решении примеров.

Все корни чётной степени являются арифметическими. Другими словами, если подкоренное выражение отрицательно, то корень лишён смысла; если подкоренное выражение равно нулю, то корень также равен нулю; если подкоренное выражение положительно, то значение корня положительно.

Все корни нечётной степени определены при любом значении подкоренного выражения. При этом корень отрицателен, если подкоренное выражение отрицательно; равен нулю, если подкоренное выражение равно нулю; положителен, если подкоренное выражение положительно.

Основная идея большинства способов решения таких уравнений заключается в сведении их к рациональным алгебраическим уравнениям.

Основной метод решения иррациональных уравнений – это возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

При возведении уравнений в чётную степень (квадрат) надо помнить о том, чтобы левая и правая части уравнения имели одинаковые знаки. В противном случае вы приобретёте «посторонние» корни. Поэтому, если решать задачу, проводя равносильные преобразования, то можно не опасаться ни потери корней, ни приобретения посторонних решений.

89

 

 

 

А(x) B

2

(x),

 

 

 

Уравнение вида А(x) B(x) равносильно системе

 

 

 

B(x) 0.

 

Пример. Решить уравнение x 3 1.

Решение. Возведём обе части данного уравнения в квадрат, т.к. в правой части стоит число 1 0 (это выполняется при любых значениях x).

x 3 1, откуда x 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверка:

 

2 3 1 1 – верно.

 

 

 

 

Ответ: x 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример.

Решить уравнения

 

 

x 3 1.

 

 

 

 

Решение. Данное уравнение не имеет решений, т.к. его левая часть –

арифметический корень – не может быть отрицательным.

 

 

Ответ: решений нет.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример.

Решить уравнение

 

 

3x 13 x 1.

 

 

 

 

Решение. Это уравнение равносильно системе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 3 (x 1)

2

,

или 3x 3 x

2

2x

1

0,

 

 

 

 

 

 

x 1 0;

 

 

 

x 1.

 

 

 

 

После преобразования получим уравнение x2

x 2 0,

обе части которого

умножим на «–1»:

x2 x 2 0. Корни этого уравнения x

1;

x 2. Так как

 

 

1

 

2

корень x2 2 не

удовлетворяет неравенству

x 1, следовательно является

посторонним корнем. Ответ: x 1.

Впоследнем примере мы не делали проверку, т.к. от уравнения перешли

кравносильной системе. Если бы мы решили этот пример иначе, ограничившись возведением исходного уравнения в квадрат, то без проверки обойтись было бы нельзя.

УПРАЖНЕНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

66. Решить иррациональные уравнения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

7 x 0

21.

3

2x 5 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

x 1 2

22.

3

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

x 3

23.

2

 

x 31 4 x

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

5

 

x 0

24.

 

x 3 2x 5

90

Источник: https://studfile.net/preview/16563687/

Смотрите также:

_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Создание и продвижение интернет - платформы реферальной системы' на примере компании Бартер–кард
[БИЛЕТЫ] IMK №3
[ТЕСТЫ] ИМК №1 по физиологии (база 1 семестр и на экз)
[ТЕСТЫ] Спланхнология
[ТЕСТЫ] ЦНС - ЛУЧШИЕ 2020
+ Проблемы криминологии. Курс лекций