Материал: Математика. вводный курс . учебное пособие для иностранных граждан слушателей подготовительного отделения. Некрасова Н.Н., Горяйнов В.В

Раздел I. АРИФМЕТИКА. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ

Тема 1. Числа. Натуральные числа (N)

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 – это цифры. Цифры – это знаки; + (плюс), =

(равно), (принадлежит), - (минус) – это тоже знаки. Например, знак 5 (пять)

– это цифра и число; 23 – это не цифра, а число.

Понятие натуральных чисел возникло из потребностей счета. Натуральные числа, расположенные в порядке возрастания, образуют ряд натуральных чисел. У каждого натурального числа есть свое место в этом ряду.

6

Числа 1; 2; 3; 4; … 9; 10; 11; … 47; 48; 49; … - это натуральные числа.

Например, 27 – это натуральное число.

Множество натуральных чисел обозначают большой буквой N , а сами числа маленькой буквой n , или n N .

Основные законы сложения и умножения натуральных чисел

Рассмотрим новое число – нуль. Нуль не является натуральным числом, и считается числом, предшествующим всем натуральным числам.

Ряд натуральных чисел вместе с числом нуль называют расширенным натуральным рядом и обозначают Z0 .

В Z0 можно доопределить действия сложения и умножения для нуля:

0 n n 0 n, 0 0 0,

0 n 0 (0 0 0) .

Деление на нуль и возведение нуля в нулевую степень являются запрещенными действиями в арифметике.

Все натуральные числа можно записать как множество:

N 1; 2; 3; ... 241; 242; 243; ... .

N – это множество натуральных чисел, = – это знак равно. Натуральные числа 1; 2; 3; ... называют элементами множества N. Число 241 – это натуральное число, или 241 – элемент N. Это можно записать так: 241 N . Нуль – не натуральное число, или 0 – не элемент N, или 0 N .

Каждое из натуральных чисел или чётное или нечётное.

Натуральные числа, которые делятся на два, называют чётными, а числа не делящиеся на два – нечётными.

2; 4; 6; 8; 10; 12; … – это чётные числа; 1; 3; 5; 7; 9; 11; … – это нечётные

7

1.1.Признаки делимости

1.Признак делимости на 2: число делится на 2, если его последняя цифра чётная или нуль.

52738 – делится; 761 – нет.

2.Признак делимости на 4: число делится на 4, если 2 последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 4.

31700 – делится; 2134 – нет (34 не делится нацело на 4).

3.Признак делимости на 8: число делится на 8, если 3 последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8.

120000 – да; 111120 – да; 170004 – нет.

Можно указать подобные признаки для деления на 16, 32, 64, но они не имеют практического значения.

4.Признак делимости на 3 и 9: на 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3; на 9 – только те, у которых сумма цифр делится на 9.

17835 – делится на 3 и не делится на 9 (1 7 8 3 5 24) ; 106499; (1 0 6 4 9 9 29) не делится на 3 и на 9; 52632; (5 2 6 3 2 18) делится на 3 и 9.

5.Признак делимости на 6: число делится на 6, если оно одновременно делится на 2 и на 3.

126, делится на 2 и на 3 делится на 6.

6.Признак делимости на 5: на 5 делятся числа, последняя цифра которых 0 или 5.

240; 395 – делятся на 5.

7.Признак делимости на 25: числа, две последние цифры которых нули или образуют число, делящееся на 25 (т.е., числа, оканчивающиеся на 00; 25; 50 или 75) делятся на 25.

7150 делится на 25, а число 4855 – нет.

8.Признак делимости на 10, 100, 1000: на 10 делятся только те числа, последняя цифра которых нуль; на 100 – только те числа, у которых две последние цифры нули; на 1000 – три последние цифры нули.

8

9. Признак делимости на 11: на 11 делятся все числа, у которых сумма цифр, занимающих нечётные места, либо равна сумме цифр, занимающих чётные места, либо отличается от нее на число, делящееся на 11.

составных чисел.

N число, большее единицы называется простым, если оно не имеет делителей, кроме единицы и самого себя (7, 11 , 19, 41, 53,…). Те числа, которые имеют другие делители, называются составными (число 21 делится на

1, 3, 7, 21, а число 81 имеет делители 1, 3, 9, 27, 81).

Число 1 не относится ни к простым, ни к составным.

Простых чисел – бесконечно много: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,

41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, …

Все четные числа кроме 2 являются составными.

Разложение составного числа на простые множители

Всякое составное число можно единственным способом представить в виде произведения простых множителей (основная теорема арифметики).

36 4 9 2 2 3 3 22 32

(показатель степени 2 равен количеству множителей двоек и троек).

1421 7

1237600 12376 100.

100 10 10 2 5 2 5 22 52.

9

Когда числа небольшие, их НОД легко определять подбором. А если число большое? Тогда разлагаем каждое на простые множители и выписываем те из них, которые входят во все данные числа. Каждый из таких множителей берем с наименьшим показателем, с которым он входит в данное число. Производим умножение.

Например, найти НОД (252, 441, 1080).

Может случиться, что общих простых множителей для данных чисел не будет, тогда НОД = 1.

Например, 15, 10, 6.

15 3 5; 10 2 5; 6 2 3 НОД =1.

Два числа, у которых НОД=1, называют взаимно простыми, например

(15, 22).

10