Материал: Математика. вводный курс . учебное пособие для иностранных граждан слушателей подготовительного отделения. Некрасова Н.Н., Горяйнов В.В

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

множители, где приводились формулы вычисления корней уравнения через

D b2 4ас –

дискриминант.

Наличие корней уравнения зависит от знака дискриминанта D. Поэтому

решение уравнения следует начинать с вычисления D, чтобы выяснить, имеет

ли квадратное уравнение корни, а если имеет, то сколько?

Возможны 3 случая:

1) если

D 0 ,

то

квадратное

уравнение

имеет

два

различных

действительных корня:

х b

D , где D b2

4ас ;

2а

2) если D 0 , то квадратное уравнение имеет два одинаковых корня:

х х

2а

(про такой корень говорят – корень кратности два);

3) если D 0 , то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Встречаются уравнения вида ах2 bх 0 , ах2

с 0 и

ах2 0 , которые

называются неполными квадратными уравнениями.

Уравнение

ах2 bх 0 ,

решается

разложением

левой

части

на

множители: х(ах b) 0 ,

откуда

х 0 ,

. Корни уравнения

ах2 с 0

существуют, если коэффициенты а и с имеют разные знаки,

тогда х

, в

1,2

противном случае корней нет.

Наконец, уравнение

ах2 0

имеет

два

одинаковых кореня х 0 .

Уравнение

вида

ах4 bх2

с 0

(a 0) называют

биквадратным.

Заменой х2 у ,

у 0 оно сводится к решению квадратного уравнения.

Рассмотрим примеры решения квадратных уравнений.

Пример.

Решить уравнение

2х2 3x 5 0.

Решение. Находим дискриминант:

D b2 4ас 9 4 2 ( 5) 9 40 49 0
	х1,2	3 7	х1	1, х2	2,5.
		4

Ответ: х1 1,	х2 2,5.
Пример. Решить уравнение 12х2 5х 9х2					7х.
Решение. Приведём подобные члены:
	12х2 5х 9х2 7х 0,			3х2 12х 0.

Выносим общий множитель за скобку, получаем: 3х(х 4) 0 , откуда

х1 0 и х2 4.

Ответ: х1 0 ; х2 4.

Пример. Решить уравнение 10(х 2) 19 (5х 1)(1 5х).

Решение. Раскроем скобки и приведём подобные:

10х 20 19 25х2 1, 10х 1 25х2 1 0, 25х2 10х 0, 5х2 2х 0,

	х(5х 2) 0, откуда						х 0 и		х	2	.
	х(5х 2) 0, откуда						х 0 и		х		.
							1		2	5
										5
Ответ: х 0 ;	х		2	.
Ответ: х 0 ;	х			.
1	2	5
		5
Пример. Решить уравнение					5х2 9			4х2 9	3.
Пример. Решить уравнение					6		5		3.
					6		5
Решение. Умножим обе части уравнения на 30:
		5(5х2 9) 6(4х2				9) 90.

Раскроем скобки и приведём подобные члены:

24x2 45 24x2		54 90,
х2 99 90, х2		90 99,
х2 9 - нет корней.
Ответ: корней нет (или х ) .
Пример. Решить уравнение	2х 5		5х 3	.
	х 1
			3х 5

х 1 0

Решение. Область определения уравнения: , т.е. х 1 и

3х 5 0

х 53 . По свойствам пропорции перемножим между собой накрест лежащие

многочлены:

(2х 5)(3х 5) (5х 3)(х 1),

6х2 10х 15х 25 5х2 5х 3х 3, 6х2 5х 25 5х2 8х 3,

6х2 5х 25 5х2 8х 3 0,

х2 3х 28 0,

							D 9 4 1 ( 28) 9 112 121 0																х		3 11.
																							1,2			2
																										2
Откуда				х					14		7			и	х		8	4.	Оба			корня		удовлетворяют							области
					1			2							2	2
								2								2
определения.
		Ответ: х1 7 ; х2 4.
		Пример. Решить уравнение х4 10х2 9 0.
		Решение. Пусть х2 t , где t 0 , тогда получим:
					t2 10t 9 0									, откуда D 100 4 1 9 64,											t			10 8		.
					t2 10t 9 0									, откуда D 100 4 1 9 64,											t					.
																									1,2				2
																													2
Тогда			t		9				и		t	2	1.			Если			t 9,			то	x2 9,				х		3;		если
			1									2														1,2
t 1,			то				х2 1,					х		1.
													3,4
		Ответ:						х1,2 3;						х3,4 1.
								УПРАЖНЕНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
		63. Решить уравнения:
1)	х2 6х 0;																	18) 3х			(х 3)2			(х 3)2					(х 1)(х 1)			;
1)	х2 6х 0;																	18) 3х														;
																						4			8				3
2)		5х2			12х 0;											19)			19			х 26;

																				х 6
																				х 6
3)	2х 2						х 3			5 0;								20) 5х2 8х 3 0;
3)		x 3								5 0;								20) 5х2 8х 3 0;
		x 3					x 3
4)	1	х2		4		х 3 0;												21) 2х4 5х2 3 0;
4)	9	х2		3		х 3 0;												21) 2х4 5х2 3 0;
	9			3

5)4х2 6х 9х2 15х;

6)13х 7х2 5х2 8х;

7)12х2 5х 9х2 7х;

8)8,5х 3х2 3,5х 2х2 ;

9)5х2 9 4х2 9 3; 6 5

10)		х			х			2		2		;
10)	х 1		х					2				;
	х 1		х			1			3
11)	х 3			х 3					3		1		;

	х 3			х 3
	х 3			х 3					3
		3х2 11					74 2х2
12)														10;
12)	8								12					10;
	8								12

13)47 х(3х 4) 2(17 2х) 62;

14)х(х 15) 3(108 5х);

15)4х2 17х 15 0;

16)	3х 7	х 3	;
	х 5
		х 2
17)	5 2х	3х 3		;
	4х 3	7 х

22)х4 13х2 36 0;

23)х4 17х2 16 0;

24)х4 50х2 49 0;

25)х4 37х2 36 0;

26)х4 25х2 144 0;

27)х4 13х2 36 0;

28)х4 5х2 36 0;

29)х4 5х2 36 0;

30)4х4 5х2 1 0;

31)3х4 28х2 9 0;

32)2х4 19х2 9 0;

33)3х4 7х2 2 0.

Тема 3. Алгебраические уравнения высших степеней

Довольно часто приходится решать рациональные уравнения степени выше второй, которые не удаётся решить с помощью очевидной замены переменной. В этом случае можно попробовать сгруппировать члены уравнения так, чтобы общий множитель вынести за скобки. Другими словами представить уравнение в виде произведения множителей.

Например, найти корни уравнения: х3 2х2 х 2 0 . Сгруппируем первое и второе слагаемые, третье и четвёртое и вынесем общий множитель в

первой группе за скобке, получим x2 (х 2) (х 2) 0. Получили два слагаемых с общим множителем (х 2) . Выносим его за скобки и получаем уравнение в виде произведения множителей: (х2 1)(х 2) 0 , откуда


х2 1 0 или	х 2 0.
Решение первого уравнения (х 1)(х 1) 0		х1,2 1. Корень второго

уравнения х3 2.

Но не всегда удаётся свести уравнение к произведению множителей. Тогда попытайтесь отгадать какой-нибудь корень уравнения. «Кандидатов» в корни приведенного многочлена с целочисленными коэффициентами следует искать среди делителей свободного члена этого многочлена. Если попытка окажется успешной, то поделив уголком исходный многочлен на (х х1) , где

х1 – угаданный корень, степень уравнения понизится на единицу.

Если же попытка угадать корень не удалась, то существуют иные методы и подходы к решению таких уравнений.

Пример. Решить уравнение х3 х2	9х 6 0.
Решение. Угадаем хотя бы	один корень данного уравнения.

«Кандидатами» в целочисленные корни (а только их есть надежда отгадать) являются делители свободного члена (6) : 1; 2; 3; 6.

Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что х1 2 является его

корнем. Разделим многочлен х3 х2 9х 6			на двучлен х 2 :
	x3 x2 9x 6		x 2
	x3 x2 9x 6		x 2

x3 2x2		x2 3x 3
	3x2 9x
	x 2 6x
	3x 6
	3x 6
	0

Теперь исходное уравнение имеет вид:

x3 x2 9x 6 (x 2)(x2 3x 3) 0,

откуда имеем x2 3x 3 0.


D 9 4 1 ( 3) 9 12 21,	x	3 21	.

	2,3	2

Ответ:	x 2;	x	3 21	.

	1	2,3	2

Источник: https://studfile.net/preview/16563687/

Смотрите также:

_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Создание и продвижение интернет - платформы реферальной системы' на примере компании Бартер–кард
[БИЛЕТЫ] IMK №3
[ТЕСТЫ] ИМК №1 по физиологии (база 1 семестр и на экз)
[ТЕСТЫ] Спланхнология
[ТЕСТЫ] ЦНС - ЛУЧШИЕ 2020
+ Проблемы криминологии. Курс лекций