Курсовая работа (т): Методика реализации внутрипредметных связей в школьном курсе математики

, так как второй множитель, очевидно, отрицателен, а первый и третий положительны. Итак,  тогда . В силу произвольности чисел  и  утверждение доказано.

Второй вариант решения. Докажем, что  при всех действительных .   тогда, очевидно,  при всех . Это означает, что данная функция строго возрастает на всей области определения.

Очевидно, что в этом виде внутрипредметных связей важна сама интерпретация утверждения задачи, факт того, что истинность (ложность) не зависит от способа её установления.. Различные варианты решения одной и той же задачи средствами одного и того же теоретического и практического базиса.

Принципиально десятый вид внутрипредметных связей отличается от девятого лишь тем, что здесь используется только один теоретический и практический базис. В характеристике было использовано слово “варианты”, так как в общем случае различная реализация решения задачи не приводит к тому, что задача решена различными способами. Под вариантом решения следует понимать любую его реализацию, отличную от всех других.

ЗАДАЧА 14. Решить уравнение .

Первый вариант решения. Воспользуемся формулой суммы синусов:

  Тогда  или , или , так как уравнение распадается на три уравнения и два последних из них являются однородными уравнениями первой степени относительно синуса и косинуса. Находим значения :  или  где .

Второй вариант решения. Воспользуемся формулой синуса тройного угла:

. Тогда  или . Из последнего уравнения получаем:  или . Легко видеть, что корни будут записаны точно также, как и в первом варианте решения.

Очевидно, что теоретический и практический базис обоих вариантов решения одинаков.

Разумеется, существуют математические задачи, реализующие несколько видов внутрипредметных связей.

Рассмотрим пример.

ЗАДАЧА 15. Решить уравнение  при

Решение. Сначала решим дополнительную задачу:  Если , то . Получаем уравнение .

Тогда:

 или . Поскольку синус должен быть здесь только положительным, решим второе уравнение:  . Проверкой легко убедиться, что подходят только чётные значения параметра .

Итак, .

В рассмотренной задаче сначала мы реализуем четвёртый вид внутрипредметных связей (вычисление значения производной), затем дважды шестой вид. Первый раз мы перешли от логарифмического уравнения к иррациональному, второй раз - от иррационального к тригонометрическому. В данной задаче задействовано два вида внутрипредметных связей. Также пример показывает, что один и тот же вид может быть использован в задаче несколько раз.

ГЛАВА II. МЕТОДИКА РЕАЛИЗАЦИИ ВНУТРИПРЕДМЕТНЫХ СВЯЗЕЙ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ

.1 Методическая значимость реализации внутрипредметных связей в школьном курсе математики

Говоря о методической значимости реализации внутрипредметных связей в школьном курсе математики, естественно подразумевать те функции, которые выполняют внутрипредметные связи в процессе обучения.

В диссертационном исследовании [1] автором приводится восемь функций внутрипредметных связей. Определим и охарактеризуем каждую из них.

. Философская функция. Математика как наука и как учебный предмет несёт в себе немало возможностей для формирования диалектического (диалектико-материалистического) мировоззрения. Реализация внутрипредметных связей посредством решения задач выступает при этом одним из самых мощных средств. Действительно, именно благодаря реализации внутрипредметных связей возможно понимание единства различных субъектов математики, которые констатируют зачастую противоречащие друг другу факты. Возможность определить один субъект при помощи другого, а также создать внутрисвязанный объект, является реальным воплощением закона перехода количественных изменений в качественные и обратно. Очевидно, что основную роль в формировании диалектического мировоззрения школьников играют безусловные внутрипредметные связи.

. Языковая функция. Как известно, математика - это язык, на котором говорит природа. Именно математика является тем инструментом, благодаря которому строятся абстрактные модели реальных природных объектов и процессов. Реализация внутрипредметных связей посредством решения задач играет огромную роль в формировании понимания математики как языка. Это происходит потому, что для описания реальных природных объектов и процессов недостаточно пользоваться каким-либо одним математическим субъектом. Для этих целей используются несколько субъектов, то есть неизбежна реализация внутрипредметных связей при использовании математики как языка.

. Развивающая функция. Реализация внутрипредметных связей посредством решения задач является мощным фактором, развивающим логическое, математическое и теоретическое мышление учеников, так как благодаря внутрипредметным связям логического типа, ученики учатся находить общие логические закономерности при изучении различных тем школьной математики, а благодаря внутрипредметным связям аналитического типа, ученики учатся применять математический аппарат одной области математики в других её областях. Внутрипредметные связи логического типа главным образом развивают логическое мышление учеников, связи аналитического типа делают курс математики более целостным, показывают взаимосвязь различных областей математики, тем самым способствуют формированию математического и теоретического мышления, закладывают основы математического сознания.

. Функция уменьшения “сброса знаний”. “Сброс знаний” - это распространённое в практической работе абсолютно всех педагогов явление. Суть его в том, что человеческий мозг имеет свойство забывать информацию, которой не пользовался определённое время. Физиологами установлено, что полностью решить проблему сброса знаний невозможно. Однако сброс знаний можно значительно уменьшить. Реализация внутрипредметных связей посредством решения задач является одним из основных способов решения этой проблемы, так как необходимость применять одинаковые логические закономерности при изучении разных тем, использовать внутрипредметные связи аналитического типа позволяет ученикам более часто повторять изученный ранее материал и известные логические приёмы в текущей деятельности.

. Пропедевтическая функция. Данная функция является одной из самых основных, так как именно удачно осуществлённая пропедевтика того или иного материала способствует более качественному его усвоению. Реализация внутрипредметных связей посредством решения задач осуществляет пропедевтику материала на основе того, что они (связи) делятся на два типа. Логический тип внутрипредметных связей облегчает (обуславливает) логику решения задач на основе нового материала, аналитический тип способствует тому, что при исполнении решения задач по новой теме ученики пользуются уже известными приёмами. Кроме того, это способствует преемственности в обучении математике.

. Интенсифицирующая функция. Реализация внутрипредметных связей способствует интенсификации учебного процесса, что играет важную роль в современном информационном обществе. Это происходит из-за того, что внутрипредметные связи обоих типов способствуют экономии времени, так как они делают возможным уплотнение учебного материала без ущерба для его качества. Объясняется это тем, что частое использование общих логических закономерностей и частое применение знакомых аналитических приёмов доводит умение пользоваться ими до автоматизма, что и обеспечивает более быстрое изучение нового материала.

. Воспитывающая функция. Среди всего множества воспитательных моментов, которые привносит в жизнь школьника математика, обратим внимание на один, который обусловлен именно реализацией внутрипредметных связей посредством решения задач. Поскольку реализация внутрипредметных связей делает возможными “обратные” связи между субъектами и объектами, то для более успешного изучения нового материала ученик вынужден более добросовестно изучать предшествующий материал. Благодаря этому воспитывается трудолюбие, аккуратность, настойчивость в достижении цели.

. Системообразующая функция. Смысл её в том, что реализация внутрипредметных связей посредством решения задач делает учебный материал системным, а не разрозненным. Системность материала значительно повышает качество знаний учеников. Эта функция внутрипредметных связей как бы суммирует в себе все предыдущие функции.

Заметим, что седьмую и восьмую функции все виды внутрипредметных связей выполняют в равной степени, причём последнюю скорее совместно, а не индивидуально.

.2 Методика реализации внутрипредметных связей на различных этапах обучения

Одной из основных задач обучения является развитие целенаправленного мышления. Развитие же мышления предполагает формирование различных понятий, в том числе и математических, так как они выступают в качестве основной формы мышления. Понятия не могут существовать в отдельности друг от друга, они взаимообусловлены, взаимосвязаны. Существование каждого понятия было бы невозможно без определённых отношений к другим.

При рассмотрении данного пункта будем опираться на работу В. А. Далингера “Методика реализации внутрипредметных связей при обучении математике” [6].

Реализация внутрипонятийных связей [6] преследует цель научить учащихся выделять существенные признаки понятия, сформировать у них умение переформулировать определения понятий через другую совокупность существенных признаков. Учащиеся должны из набора существенных признаков объекта уметь устанавливать его принадлежность понятию и наоборот. Основная функция внутрипонятийных связей - образование понятия (по времени это 1-2 урока, на которых понятие вводится).

Любое понятие можно расчленить на составляющие его компоненты, между которыми устанавливаются определённые связи. Например, понятие геометрическая прогрессия определяется как числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и тоже число, не равное нулю. Исходя из этого определения, можно выделить следующие составляющие: последовательность, первый член последовательности, знаменатель прогрессии. Они подчинены определённым зависимостям. Так, члены последовательности должны быть отличны от нуля, знаменатель прогрессии есть любое число, не равное нулю, каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на знаменатель прогрессии. Для усвоения понятия геометрической прогрессии, на уровне требований программы девятилетней школы, необходимо, чтобы были усвоены перечисленные элементы и связи между ними.

Разумеется, для любого понятия можно выделить минимальный список наиболее важных отношений, играющих доминирующую роль не только в усвоении этого понятия, но и необходимый в дальнейшем для изучения других вопросов.

Рассмотрим пример.

При введении в 5 классе понятия биссектриса угла учащиеся должны уметь выделять существенные признаки этого понятия, входящие в его определение. Эти признаки таковы:

. биссектриса угла - это луч;

. биссектриса угла выходит из его вершины;

. биссектриса угла делит его пополам.

Важным моментом при изучении этого понятия должна явиться работа учащихся по комбинированию выделенных признаков. При таком подходе они сознательно усвоят необходимость каждого признака и их достаточность для определения понятия биссектрисы угла. Здесь на первый план выступают внутрипонятийные связи, анализ которых поможет подвести объект под понятие.

Важное значение для успешной реализации внутрипонятийных связей имеет работа школьников по осознанию тех связей, которые существуют между свойствами понятия. При этом учебный материал должен быть организован на основе варьирования несущественных признаков понятий при сохранении постоянными существенных признаков, которые будут положены в основу обобщения.

Пример.

Для ознакомления учащихся с фактом влияния коэффициента  на свойства функции  достаточной является группа упражнений, состоящая из следующих задач: “Постройте графики функций

 Как влияет на их расположение значение ?”

В данной группе задач исключено беспорядочное варьирование коэффициента, при котором ученик может упустить необходимые для обобщения связи между коэффициентом  и свойствами функции . Все задачи направлены на осознанное понимание учащимися двух различных факторов, определяющих свойства функции: абсолютная величина , знак коэффициента .

Организуя работу над внутрипонятийными связями, учителю следует иметь в виду, что при этом важно варьировать несущественные признаки понятия. Особое значение эта работа имеет при формировании геометрических понятий. Если учитель ограничивается, например, стандартными чертежами, то школьники достаточно быстро связывают формируемое понятие с фигурами определённого вида и расположения. Использование стандартного чертежа вызывает у учащегося неверные ассоциации, в результате чего он в содержание понятия вносит и частные признаки демонстрируемой фигуры. В такой ситуации наблюдается разобщённость между словесным объяснением учителя и наглядной интерпретацией. Это приводит к тому, что знания, формируемые на базе одного и другого, не соответствуют друг другу. Например, многие ученики к прямоугольным треугольникам относят лишь те, у которых прямой угол находится “внизу”. Причиной ошибочного представления о понятии явилось то, что учащиеся при его введении пользовались лишь одним признаком, а не совокупностью существенных признаков, при этом доминирующим стал наиболее ярко выраженный несущественный признак.