Курсовая работа (т): Методика реализации внутрипредметных связей в школьном курсе математики

Что касается глобальной логической структуры, то она способствует более глубокому пониманию того факта, что задача - это сложный объект. Действительно, любая задача, которая может быть мысленно расчленена на последовательность подзадач, предстаёт перед решающим её субъектом как некая система взаимообуславливающих друг друга компонентов (то есть имеющих смысловую нагрузку не только в отдельности, но и в совокупности).. Второй вид внутрипредметных связей логического типа - применение аналогии и сравнения при решении математических задач. Как уже отмечалось, этот вид внутрипредметных связей позволяет определять истинность (ложность) одного практического субъекта по аналогии с тем, как это было сделано для какого-либо другого практического субъекта. Если для первого вида внутрипредметных связей обязательным является наличие общих логических закономерностей при определении субъектов (из этого неизбежно вытекают некоторые аналогии при определении их истинности или ложности), то для второго вида требование наличия общей логики в определении субъектов отсутствует, сохраняется лишь аналогия при решении задач. Это единственное отличие первого и второго видов внутрипредметных связей. В качестве примера рассмотрим две задачи.

ЗАДАЧА 3. Выразить радиус вписанной в треугольник окружности через площадь и периметр последнего.

ЗАДАЧА 4. Выразить радиус вписанного в треугольную пирамиду шара через её объем и площадь полной поверхности.

Решение задачи 3. Пусть известны площадь  треугольника и его периметр . Кроме того, пусть  - искомый радиус и  - длины сторон треугольника. Тогда  Известно, что в любой треугольник можно вписать окружность и её центром будет точка пересечения биссектрис треугольника. Биссектрисы углов треугольника, проведённые до точки их пересечения, разбивают его на три треугольника, для каждого из которых одной из высот будет искомый радиус, а основанием для этих высот будут стороны исходного треугольника. Пусть  - площади этих треугольников, тогда очевидно, что

Отсюда следует, что .

Решение задачи 4. Пусть дан объём  пирамиды и площадь  её полной поверхности. Помимо этого, пусть  - искомый радиус,  - площади граней пирамиды. Известно, что в любую треугольную пирамиду можно вписать шар, центр которого будет находиться в точке пересечения её биссекторных плоскостей. Если соединить центр шара с вершинами пирамиды, то исходная пирамида будет разделена на четыре пирамиды, одна из высот каждой из

которых - искомый радиус . Основания, перпендикулярные ему, - это грани исходной пирамиды. Пусть объёмы этих пирамид - . Ясно, что .

Тогда:

.

Окончательно получаем: .

Бесспорно, решение четвёртой задачи аналогично решению третьей. Однако третья задача была решена на плоскости, а четвёртая в пространстве. Именно в этом заключаются принципиальные различия в определениях треугольника и пирамиды, окружности и шара. Поэтому здесь имеет место не первый, а второй вид внутрипредметных связей.

Теперь рассмотрим внутрипредметные связи аналитического типа.

Определим третий вид внутрипредметных связей. . Использование базисных задач при решении некоторой совокупности задач. Для рассмотрения данного вопроса под совокупностью задач следует понимать множество задач с некоторым (необязательно общим) теоретическим базисом, необходимым для их формулировки и решения.

В методической литературе часто встречаются различные названия задач, результат или идея решения которых используются для решения других задач. Одни авторы называют их ключевыми, другие авторы - опорными. В.И. Крупич в своей работе [12, С.150] называет эти задачи базисными. В данной курсовой работе примем концепцию, согласно которой и ключевые и опорные задачи будем считать базисными по отношению к некоторой совокупности задач, в которой они используются. При этом под ключевой задачей будем понимать такую, которая открывает идею решения целого класса задач, а под опорной будем понимать задачу, результат которой аналитически используется для решения последующих задач.

ЗАДАЧА 5. (Опорная). Пусть  и  - корни квадратного уравнения . Выразить сумму  через коэффициенты  и .

Решение.  По теореме Виета . Тогда:

ЗАДАЧА 6. Пусть  и  - корни уравнения . Выразить суммы: а) ; б)  через коэффициенты  и .

Решение.  Так как  (задача 5), то

.

Разумеется, этот вид внутрипредметных связей может применяться и в других областях школьной математики.. Использование дополнительных задач при решении основной задачи. Под дополнительной задачей в данном случае будем понимать самостоятельную математическую задачу, без решения которой невозможно решить основную задачу. Дополнительная задача может быть сформулирована в явном или неявном виде, но в любом случае, прежде чем приступать к решению основной задачи, необходимо решить дополнительную задачу. Рассмотрим примеры.

ЗАДАЧА 7. Решить уравнение  где .

ЗАДАЧА 8. Решить уравнение

В первом примере дополнительная задача сформулирована в явном виде, во втором примере - в неявном виде. Так как сначала необходимо решить дополнительную задачу, то в случае, когда она сформулирована неявно, дополнительная задача выступает как первая подзадача основной задачи.. Реализация внутрипредметных связей на основе переформулировки исходной задачи. Этот вид внутрипредметных связей также относится к аналитическому типу. Внутрипредметные связи здесь имеют место благодаря необходимости более глубоко понимать определение каждого математического субъекта и более качественно знать теоретический и практический базис решения математических задач.

ЗАДАЧА 9. Найти область определения функции .

Решение. В соответствии с определением понятия “область определения функции”, необходимо решить систему:

Получаем ответ:

В рассмотренном примере невозможно обойтись без знания того, что такое область определения функции и без умения решать системы неравенств. Пятый вид внутрипредметных связей в данном случае хорошо реализуется, если эту задачу рассматривать в теме “Решение систем неравенств”. В этом случае ученики будут вынуждены переформулировать исходную задачу. Разумеется, этот вид внутрипредметных связей может быть использован в любой другой области школьной математики. . Непосредственный аналитический переход от одного теоретического и практического базиса к другому базису в процессе решения задач.

Ранее было отмечено, что задачу можно рассматривать как последовательность подзадач, каждая из которых имеет свою локальную логическую структуру, теоретический и практический базис. Если они имеют разный теоретический и практический базис, то реализуются внутрипредметные связи.

ЗАДАЧА 10. Решить уравнение .

Решение. Поскольку основания логарифмов равны, потенцируя, получим:

 Пусть . Уравнение

примет вид:  откуда , то есть  или .

Проверкой легко убедиться, что при этих значениях синуса оба выражения, стоящих под знаком логарифма, положительны. Решая последние уравнения, найдем корни:  где

В качестве первой подзадачи здесь выступает сама исходная задача. Второй подзадачей является переход к тригонометрическому уравнению и его преобразование. Третья подзадача - переход к алгебраическому уравнению и его решение, а четвёртой подзадачей было решение совокупности простейших тригонометрических уравнений. Шестой вид внутрипредметных связей здесь был реализован три раза при переходе от одной подзадачи к следующей.. Решение задач, сформулированных на основе одного теоретического и практического базиса средствами другого (других) теоретического и практического базиса (базисов). Рассмотрим пример.

ЗАДАЧА 11. Решить уравнение

Решение. Поскольку левая и правая части уравнения - функции разных видов, необходимо оценить значение каждой из этих частей.  Для оценки правой части воспользуемся аппаратом производной.

Пусть  Тогда  Приравняем производную к нулю, решим полученное уравнение.   - единственная критическая точка. Очевидно, что  при  и  при . Принимая во внимание, что данная функция определена для всех действительных чисел, делаем вывод, что  - точка минимума. Тогда  при всех действительных . Следовательно, уравнение равносильно системе:  Эта система имеет единственное решение  в силу вышеизложенных рассуждений.

В рассмотренном примере задача была сформулирована средствами алгебры, а решение было найдено при помощи дифференциального исчисления. Очевидно, этот вид внутрипредметных связей может быть использован при рассмотрении других тем школьной математики.. Одновременное использование сразу нескольких теоретических и практических базисов при решении одной и той же задачи. От предыдущего вида внутрипредметных связей этот вид принципиально отличается тем, что здесь основным является сочетание свойств компонентов задачи, имеющих различный теоретический и практический базис. В этом и заключён смысл одновременности. Рассмотрим пример.

ЗАДАЧА 12. При каких значениях параметра  имеет единственный корень уравнение ?

Решение. Пусть . Уравнение примет вид:  Если , то  причём  строго возрастает на . Требование задачи будет выполнено, если уравнение  будет иметь единственный положительный корень. В соответствии с теоремой Виета получаем: 1)  2) , 3)  где  и  - корни квадратного уравнения с параметром. Итак: 1)  2)  3)  Тогда 1)  2)  3) . Окончательно получаем:  

Ясно, что эту задачу невозможно было бы решить без сочетания свойств квадратного трёхчлена и показательной функции.. Решение одной и то же задачи средствами различных теоретических и практических базисов (сначала полностью средствами одного базиса, а затем полностью средствами другого базиса).

ЗАДАЧА 13. Доказать, что функция  строго возрастает на множестве всех действительных чисел.

Первый вариант решения. Очевидно, данная функция определена для всех действительных чисел. Предположим, что . Докажем, что . Имеем: