Ю.В. Иванов, В.А. Саранин
МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Сборник задач и тестовых заданий
Учебно–методическое пособие
Глазов
2012
УДК 531.0 ББК 22.311
И20
Р е ц е н з е н т ы :
В. А. Саранин, доктор физико-математических наук, профессор (г. Глазов)
А. В. Проказов, кандидат физико-математических наук, доцент (г. Глазов)
Иванов Ю.В., Саранин В.А.
И20 Методы математической физики. Сборник задач и тестовых заданий: Учебно–методическое пособие. – Глазов: ООО «Глазовская типография», 2012. – 24 с.
ISBN 978-5-905538-08-7
Пособие содержит задачи и тестовые задания по основным разделам математической физики. Предназначено для студентов физико-математи- ческих факультетов педагогических вузов.
|
УДК 531.0 |
|
ББК 22.311 |
ISBN 978-5-905538-08-7 |
© Иванов Ю.В., 2012 |
|
© Саранин В.А., 2012 |
2
СОДЕРЖАНИЕ
ЗАДАЧИ ............................................................................................ |
4 |
|
1. |
Элементы математической теории поля ................................... |
4 |
2. |
Классификация уравнений с частными производными вто- |
|
|
рого порядка ................................................................................ |
7 |
3. |
Математические методы решения уравнений .......................... |
8 |
4. |
Применение методов математической физики к решению |
|
|
задач физики ................................................................................ |
11 |
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ................................................................... |
12 |
|
1. |
Элементы математической теории поля ................................... |
12 |
2. |
Классификация уравнений математической физики ............... |
14 |
3. |
Классификация задач математической физики ........................ |
18 |
4. |
Методы решения уравнений математической физики ............ |
20 |
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ................................................................ |
24 |
|
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
|
|
|
|
|
|
ЗАДАЧИ |
|
|
|
|
|
||
|
|
1. Элементы математической теории поля |
|
|
|||||||||
|
1.1. Даны векторы |
{ |
|
} и |
{ |
}. Найдите проекции |
|||||||
вектора на направление и вектора на направление . |
|
|
|||||||||||
|
1.2. Даны модули векторов a = 13, b = 19 и | |
| |
. Вычислите |
||||||||||
| |
|. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.3. |
Даны |
векторы |
|
{ |
|
} |
и |
{ |
|
}. |
Вычислите |
|
( |
) ( |
) ( |
) ( |
|
) |
|
|
|
|
|
|||
|
1.4. Векторы и взаимно перпендикулярны. Зная, что a = 3; b = 4, |
||||||||||||
вычислите |( |
) |
( |
)| и |( |
|
) |
( |
)|. |
|
|
||||
|
1.5. Векторы , |
и удовлетворяют условию |
|
|
. Дока- |
||||||||
жите: |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.6. Вычислите работу силы |
|
{ |
}, |
если под ее действием |
||||||||
совершается перемещение |
{ |
|
} |
|
|
|
|
|
|||||
|
1.7. Даны силы |
{ |
|
} и |
{ |
} |
приложенные к од- |
||||||
ной материальной точке. Определите работу сил при перемещении точки
{ |
} |
|
|
|
|
|
|
|
1.8. Даны два вектора |
{ |
}; |
{ |
|
} Найдите вектор |
|||
при условии, что он перпендикулярен оси |
и |
|
|
|||||
1.9. Сила |
{ |
} приложена к точке |
( |
). Определите |
||||
ее момент относительно начала координат. Сделайте чертеж. |
||||||||
1.10. Сила |
{ |
} приложена к точке |
( |
). Определите |
||||
ее момент относительно точки |
( |
). Сделайте чертеж. |
||||||
1.11. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы |
||||||||
векторы ( |
) и ( |
) были коллинеарны? |
|
|
|
|||
1.12. Сила |
{ |
} приложена к точке |
( |
). Опреде- |
||||
лите величину и направление момента этой силы относительно начала координат.
1.13. Найдите вектор , который перпендикулярен векторам и и удовлетворяет условию: ( ) ; { }
{}
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
|
|
1.14. Вектор перпендикулярен оси |
и вектору |
{ |
} и |
||||||||||||||||||||
образует с осью |
|
|
острый угол. Зная, |
что |
, найдите его коорди- |
||||||||||||||||||||
наты. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1.15. Даны точки |
( |
) |
( |
|
) |
( |
|
). Найдите коор- |
|||||||||||||||
динаты векторных произведений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1) |
|
2) ( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1.16. Векторы |
, |
, , |
|
связаны соотношением |
|
|
и |
||||||||||||||||
|
|
|
|
. Докажите коллинеарность векторов ( |
) и ( |
). |
|||||||||||||||||||
|
|
1.17. Даны векторы |
{ |
|
} и { |
|
|
}. Найдите коор- |
|||||||||||||||||
динаты векторов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
) ( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
) ( |
|
|
) |
( |
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1.18. Найдите градиент полей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1) |
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и вычислите его значение в точке |
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1.19. Докажите, что: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1) |
|
|
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
|
|
( |
|
) |
|
|
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
3) |
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где |
и |
– скалярные поля. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1.20. |
Найдите |
градиент модуля |
радиус-вектора |
(радиус-вектор |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1.21. Найдите производную по направлению: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
№ |
|
|
|
|
Функция |
|
|
|
Направление |
|
|
Вычислить |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в точке |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
( |
) |
|
|
( |
) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
} |
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
} |
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
} |
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
} |
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
|
} |
|
|
( |
) |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
( |
) |
|
|
|
|
|
5