Материал: Методы математической физики. Сборник задач и тестовых заданий (110
тура , а на второй происходит теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона. Температуру окружающей среды примите равной нулю.
3.25.* Внутри плоской пластины толщиной h действуют однородно распределенные источники тепла постоянной мощности q. На границах пластины происходит теплообмен с внешней средой по закону Ньютона. Найдите стационарное распределение температуры.
3.26.* Верхний торец и боковая поверхность цилиндра высотой h и радиуса a поддерживается при нулевой температуре. На нижнем торце поддерживается температура . Найдите стационарное распределение температуры в цилиндре.
3.27.* Используя формулу Родриго, найдите выражения и постройте графики полиномов Лежандра до 4-го включительно.
4.Применение методов математической физики
крешению задач физики
4.1.** Гравитационные волны на поверхности жидкости z = 0 описываются уравнениями:
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
||||
где |
потенциал скорости жидкости, |
ускорение свободного паде- |
|||||
ния. Найдите решение для потенциала |
и связь между частотой и дли- |
||||||
ной волны. |
|
||||||
4.2.** Температура на поверхности Земли меняется периодически в течение суток и года. Считая, что на поверхности Земли x = 0 температура меняется по закону ( ) , найдите закон изменения температуры в почве x > 0. Оцените температуропроводность почвы, если глубина промерзания ее за зиму около 2 м.
4.3.** Найдите стационарное распределение температуры в биметаллической пластине на внешних границах которой поддерживается температуры и . Теплопроводности металлов æ1 и æ2, их толщины h1 и h2. Найдите также градиент температуры в каждом из металлов.
4.4.** Найдите стационарное распределение температуры внутри однородного изотропного шара радиуса a, если на его поверхности поддерживается температура .
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
1. Элементы математической теории поля
1. Градиентом называют:
А. Вектор, направленный в сторону наибыстрейшего возрастания скалярного поля и равный производной скалярного поля по этому направлению.
Б. Скалярную величину, выражающую скорость изменения скалярного поля вдоль выбранного направления.
В. Векторную величину, выражающую скорость изменения векторного поля вдоль выбранного направления.
Г. Скалярную величину, выражающую скорость изменения векторного поля вдоль выбранного направления.
2. Градиент скалярного поля в декартовой системе координат имеет вид:
А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Б. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. Чему равен градиент модуля радиус-вектора?
А. |
Б. |
В. |
Г. |
4. Оператор Гамильтона в декартовой системе координат имеет вид:
А. |
|
|
|
|
|
|
Б.
В.
Г.
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. Ротор векторного поля рассчитывается по формуле:
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
А. |
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Б. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. Найдите лапласиан функции |
, где |
— модуль радиус-вектора. |
|||||||||||||
А. |
|
|
|
|
|
|
Б. |
|
|
|
|
В. |
Г. |
||
7.Инвариантная дифференциальная характеристика скалярного поля выражается:
А. Производной по направлению Б. Ротором В. Дивергенцией
Г. Градиентом
8. Найдите дивергенцию радиус-вектора: |
|
|
||||||||||||||||||||
А. 0 |
|
|
|
|
|
|
|
Б. 3 |
|
|
|
|
В. |
Г. 1 |
|
|||||||
9. Чему равен ротор поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
? |
|
|||||||||||
А. 0 |
|
|
|
|
|
|
|
Б. 2 |
|
|
|
|
В. 1 |
Г. |
|
|||||||
10. Поле называют соленоидальным, если: |
|
|
||||||||||||||||||||
А. |
|
|
|
|
|
|
|
Б. |
|
|
|
|
|
|
|
В. |
|
|
||||
11. Выберите формулу для расчета дивергенции векторного поля. |
|
|||||||||||||||||||||
А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Б. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
|
|
|
|
|
|||
Г. |
| |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|||||
12. Оператор Лапласа в декартовой системе координат имеет вид:
А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Б. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. Чему равна дивергенция поля |
? |
|
|
|||||||||||||||||||||||
А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б. |
|
|
|
|
|
|
В. |
Г. 0 |
|
||||
14. Поле называют потенциальным, если: |
|
|
||||||||||||||||||||||||
А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б. |
|
|
|
|
|
В. |
Г. |
|
|||||
15. Чему равен градиент поля |
, где |
— модуль радиус–вектора. |
||||||||||||||||||||||||
А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б. |
|
|
|
|
|
|
В. 0 |
Г. |
|
||||
2. Классификация уравнений математической физики
1.Что называют дифференциальным уравнением с частными производными?
А. Уравнение, связывающее искомую функцию, независимые переменные и частные производные искомой функции по этим независимым переменным.
Б. Уравнение, связывающее искомую функцию и частные производные искомой функции по независимым переменным.
В. Уравнение, связывающее искомую функцию и независимые переменные.
Г. Любое уравнение, содержащее частную производную.
2.Дифференциальное уравнение в частных производных называется линейным, если оно
А. Имеет решение, являющееся уравнением прямой линии.
14
Б. Содержит искомую функцию и все её частные производные в степени выше первой.
В. Линейно относительно искомой функции и всех её частных производных.
Г. Однородно.
3.Какое из приведенных дифференциальных уравнений относится к линейным дифференциальным уравнениям в частных производных второго порядка:
А.
Б.
В. ( )
Г.
4.Что называют общим решением дифференциального уравнения с частными производными?
А. Решение, описывающее общий случай описываемого процесса. Б. Функция, которая будучи подставленной в уравнение вместо искомой функции, обращает дифференциальное уравнение в
тождество.
В. Совокупность всех функций, удовлетворяющих условию решения дифференциального уравнения.
Г. Все перечисленные примеры.
5.Что такое интеграл дифференциального уравнения в частных производных?
А. Функция, которая будучи подставленной в уравнение вместо искомой функции, обращает дифференциальное уравнение в тождество.
Б. Совокупность всех функций, удовлетворяющих условию решения данного дифференциального уравнения.
В. Система интегральных уравнений. Г. Все перечисленные примеры.
6. Уравнение Лапласа относится к уравнениям:
А. Гиперболического типа. Б. Параболического типа.
15