Курсовая работа (т): Многочлены Чебышева и их основные свойства

Многочлены Чебышева и их основные свойства

МИНистерство ОБРазования и НАУКИ РОССИи

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«БРЯНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АКАДЕМИКА И.Г. ПЕТРОВСКОГО»

Физико-математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

«Многочлены Чебышева и их основные свойства»

Выполнила:

студентка 3 курса ОЗО ФМФ

направления

«Педагогическое образование»

профиля «Математика»

Ю.М. Симонаева

Научный руководитель:

Кандидат физико-математических наук

М.М. Сорокина

Брянск 2014

Содержание

Введение

Глава 1. Обозначения, определения и известные результаты, используемые в работе

Глава 2. Основы теории многочленов от одной переменной

Глава 3. Многочлены Чебышева и их основные свойства

3.1 Определение и простейшие свойства многочленов Чебышева

3.2 Основные теоремы о многочленах Чебышева

Заключение

Список используемой литературы

Введение

Теория многочленов представляет один из центральных разделов современной алгебры. Понятие многочлена от одной переменной возникло в связи с задачей решения алгебраических уравнений от одной переменной, которой занимались уже в глубокой древности. В XVI веке итальянскими математиками были найдены формулы для решения уравнений третьей и четвертой степени. Позднее Н.Абель и П.Руффини доказали, что, начиная с пятой степени, общей формулы, использующей, кроме сложения и умножения, лишь извлечение корней, не существует, а Э.Галуа открыл закономерности поведения корней, приложимые к каждому конкретному уравнению.

Параллельно с этим К.Гаусс доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что всякий многочлен (коэффициенты многочлена могут быть не только вещественными, но и комплексными числами) имеет хотя бы один корень (возможно, являющийся не вещественным, а комплексным числом). В дальнейшем многие ученые занимались изучением многочленов. Я.Бернулли, Э.Безу, У.Горнер, Ж.Лагранж, П.Чебышев, С.Эйзенштейн, Д.Гильберт и многие другие известные математики открыли немало нового и удивительного о многочленах, ставшего впоследствии привычным и обыкновенным.

В XX веке роль многочленов стала меняться. Буквы, входящие в многочлен, стали играть роль символов, не связанную с их конкретными значениями. Современная математика изучает и использует в общем случае многочлены от одной переменной, у которых коэффициенты а₀, а₁, …, а_n являются объектами произвольной природы, а не только числами. Самые разные области математики и ее приложений стали использовать символьное исчисление многочленов, не зависящее от теории функций (математическая логика, топология, теория информации, дискретная и компьютерная математика и т.д.).

С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля <#"882806.files/image001.gif"> называется правило или закон, по которому любым двум элементам из , необязательно различным, взятым в указанном порядке, ставится в соответствие единственный элемент из .

Определение бинарной алгебраической операции можно сформулировать также следующим образом.

Определение 1′. Бинарной алгебраической операцией на множестве  называется отображение . Вместо  пишут . Бинарные алгебраические операции в общем виде обозначают символами  и другими.

Определение 2. Непустое множество  с определённой на нём бинарной алгебраической операцией  называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):

) операция  ассоциативна на  , т.е.

;

) в  существует нейтральный элемент относительно операции , т.е.

;

) для каждого элемента из  в  существует симметричный ему элемент относительно операции , т. е. .

Определение 3. Группа  относительно операции  называется абелевой, если операция  коммутативна на , т. е. .

Определение 4. Группа относительно операции сложения называется аддитивной.

Определение 5. Группа относительно операции умножения называется мультипликативной.

Определение 6. Непустое множество  с определенными на нем бинарными алгебраическими операциями сложения и умножения называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы кольца):

.  - аддитивная абелева группа, т.е.

а) ассоциативность сложения на

;

б) ;

в) ;

г) коммутативность сложения на

.

. В  выполняются дистрибутивные законы, т.е.

а)  - правый дистрибутивный закон,

б)  - левый дистрибутивный закон.

Определение 7. Кольцо  называется ассоциативным, если операция умножения ассоциативна на , т.е. .

Определение 8. Кольцо  называется коммутативным, если операция умножения коммутативна на , т.е. .

Определение 9. Кольцо  называется ассоциативно-коммутатитвным, если  - ассоциативное кольцо и коммутативное кольцо.

Определение 10. Кольцо  называется кольцом с единицей, если в  существует единичный элемент, т.е. .

Определение 11. Элементы  и  кольца  называются делителями нуля, если , но .

Определение 12. Ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля называется областью целостности.

Определение 13. Пусть  - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Элементы  и  кольца  называются ассоциированными в  и обозначаются , если и .

Определение 14. Пусть  - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Элемент  называется обратимым в кольце , если в кольце  найдется обратный к нему элемент, т.е. такой элемент , что . Иначе, элемент  называется необратимым элементом .

Определение 15. Полем называется ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, в котором любой ненулевой элемент обратим.

Определение 15'. Непустое множество  с определёнными на нём бинарными алгебраическими операциями  и  называется полем, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы поля):

.  - аддитивная абелева группа, т.е.

а) ассоциативность операции  , т.е.

;

б) ;

в) ;

г) коммутативность операции , т.е. .

а)  - правый дистрибутивный закон;

б)  - левый дистрибутивный закон.

.  - мультипликативная абелева группа, т.е.

а) ассоциативность операции , т.е.

;

б) ;

в) ;

г) коммутативность операции , т.е. .

Определение 16. Множество  называется числовым, если .

Определение 17. Поле  называется числовым, если оно является числовым множеством, т.е. .

Глава 2. Основы теории многочленов от одной переменной

Определение 1. Пусть  и  - ассоциативно-коммутативные кольца с единицами. Кольцо  называется простым расширением кольца  с помощью элемента , если выполняются следующие условия:

)  - подкольцо кольца ;

) , и записывают .

Определение 2. Простое расширение  называется простым трансцендентным расширением кольца , если выполняется следующее условие:  из равенства  следует, что . Элемент  в этом случае называется трансцендентным элементом над  (относительно ).

Лемма 1. Пусть  - простое трансцендентное расширение ассоциативно-коммутативного кольца  с единицей,. Если

 и

,

то  и .

Лемма 2. Пусть  и  - простые трансцендентные расширения ассоциативно-коммутативных колец  и  с единицами. Если  и  - изоморфизм  на , то , причем существует единственный изоморфизм  кольца  на , который переводит элемент  в элемент  (т.е. ) и продолжает изоморфизм .