Курсовая работа (т): Многочлены Чебышева и их основные свойства

Теорема 11. Пусть  - несократимая рациональная дробь. Если  - корень , то .

Доказательство. Так как  - корень , то , то есть:

. Так как , то . Так как , то .

Теорема доказана.

Следствие 11.1. Рациональные корни нормированного многочлена с целыми коэффициентами являются его целыми корнями.

Следствие 11.2. Целые корни многочлена с целыми коэффициентами являются делителями свободного числа.

Теорема 12. Пусть , ,   - несократимая рациональная дробь. Если  - корень , то , .

Следствие 12.1. Пусть ,  - несократимая рациональная дробь. Если  - корень , то , .

Глава 3. Многочлены Чебышева и их основные свойства

3.1 Определение и простейшие свойства многочленов Чебышева

многочлен чебышев корень переменная

Определение 1. Многочлены , где , определенные рекуррентным соотношением  и начальными условиями  и  называют многочленами Чебышева.

Определение многочленов Чебышева основано на том, что  полиномиально выражается через , т.е. существует такой многочлен , что  при .

Формула  показывает, что многочлены , определенные рекуррентным соотношением  и начальными условиями  и , обладают нужным свойством.

Непосредственно из того, что  при , следует, что  при . А из рекуррентного соотношения следует, что  , где  - целые числа.

Теорема 1. Пусть  - многочлен степени  со старшим коэффициентом 1, причем  при .

Тогда . Другими словами, многочлен  - наименее уклоняющийся от нуля на интервале  многочлен степени  со старшим коэффициентом 1.

Доказательство. Воспользуемся свойством многочлена , а именно тем, что  при . Рассмотрим многочлен . Его степень не превосходит , поскольку старшие члены многочленов  и  равны. Из того, что  при , следует, что в точке

 знак числа  cовпадает со знаком числа . Таким образом, в концах каждого отрезка  многочлен  принимает значения разного знака. Поэтому у многочлена  на этом отрезке есть корень. В случае, когда , либо  - двукратный корень, либо внутри одного из отрезков  и  есть еще один корень. Это следует из того, что в точках  и  мнгочлен  принимает значения одного знака (рис.1).

Рис.1

Количество отрезков  равно , поэтому многочлен  имеет по крайней мере  корней. Для многочлена степени не более  это означает, что он тождественно равен нулю, т.е. . Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть . Тогда

Доказательство. Поскольку , то  и . Следовательно, .

Пусть  и . Тогда  и

Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть  - нечетное простое число. Тогда

.

Доказательство. Запишем  в виде . Тогда

Если , то  делится на . Поэтому

. Следствие доказано.

Определение 2. Композиция многочленов  и  определяется равенством .

Определение 3. Многочлены  и  называются коммутирующими, если , т.е. .

Доказательство. Пусть . Тогда  и . Поэтому . Аналогично . Таким образом, равенство  выполняется при  , а значит, это равенство выполняется при всех . Теорема доказана.

Определение 4. Пусть , где  и . Говорят, что пара многочленов  и  эквивалентна паре многочленов и .

Теорема 4 (Ритт). Пустьи  - коммутирующие многочлены. Тогда пара многочленов и  эквивалентна одной из следующих пар:

(1)  игде

(2) игдеи - многочлены Чебышева;

(3) игде

Теорема 4 была доказана в 1922 году американским математиком Риттом; все известные ее доказательства весьма сложные. Современное изложение доказательства теоремы Ритта приведено в книге Прасолова В.В., Шварцмана О.В. [13].

В некоторых случаях вместо многочлена  рассматривают многочлен  со старшим коэффициентом 1. Многочлены  удовлетворяют рекуррентному соотношению . Поэтому  - многочлен с целыми коэффициентами.

Если , то  и . Следовательно, , т.е. многочлен  соответствует полиномиальному выражению величины  через .

С помощью многочленов  можно доказать следующее утверждение.

Теорема 5. Если оба числа и  рациональны, то число  целое, т.е..

Доказательство. Пусть  - несократимая дробь и , где . Тогда . Поэтому  - корень многочлена  с целыми коэффициентами. Пусть  - несократимая дробь. Тогда , и значит,  делится на . Однако числа  взаимно простые. Поэтому , т.е.  - целое число. Теорема доказана.

3.2 Основные теоремы о многочленах Чебышева

Определение 5. Многочлены  называют ортогональными многочленами на отрезке  с весовой функцией  , если и  при .

В пространстве  многочленов степени не более  задают скалярное произведение формулой .

Ортогональные многочлены  образуют ортогональный базис в пространстве  с таким скалярным произведением.

Если задан отрезок и весовая функция, то ортогональные многочлены определены однозначно с точность до пропорциональности. В самом деле, они получаются в результате ортогонализации базиса

Наиболее известны следующие ортогональные многочлены: