Курсовая работа (т): Многочлены Чебышева и их основные свойства

Следствие 2.1. Пусть  и  - простое трансцендентное расширение ассоциативно-коммутативного кольца  с единицей. Тогда .

Лемма 3. Пусть  - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей,  и лишь конечное число . Тогда множество  является ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей  относительно операций, заданных по правилу:

1)  

2)       где

и т.д.,

Теорема 1. Пусть  - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Тогда для  существуют простые трансцендентные расширения, причём любые 2 из них изоморфны.

Замечание. Кольцо , построенное в лемме 3, и являющееся простым трансцендентным расширением кольца  согласно теореме 1, называется кольцом многочленов (полиномов) от одной переменной (неизвестной)  над кольцом  и обозначается . Элементы кольца  называются многочленами (полиномами) над кольцом  от переменной .

Пусть, например, , причём  (ввиду теоремы 1). Тогда  - свободный или постоянный член многочлена ,  - старший коэффициент многочлена .

Определение 3. Пусть  - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей,  Число  называется степенью многочлена  и обозначается , т.е.  (степень многочлена - это степень переменной при старшем коэффициенте).

Определение 4. Нулевым многочленом называется многочлен, все коэффициенты которого равны 0, и обозначается 0. По определению полагают, что степень нулевого многочлена равна , т.е. . Таким образом, если , то  (.

Теорема 2. Пусть  - ненулевое ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, . Тогда:

) ;

)  .

Следствие 2.1. Пусть  - область целостности. Тогда .

Теорема 3. Если  - область целостности, то  - область целостности.

Теорема 4. Пусть  - область целостности. Тогда для  существует поле частных.

Определение 5. Пусть  - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Говорят, что многочлен  делится на многочлен , если  и обозначается  или .

Простейшие свойства отношения делимости в :

1) рефлексивность ;

) транзитивность  и ;

) и ;

) ;

).

Определение 6. Пусть  - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей,  (т.е. ), . Элемент  называется значением многочлена  в точке  (на элементе ) и обозначается , то есть .

Теорема 5 (теорема Безу). Пусть  - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, , . Тогда существует  такой, что .

Доказательство. Пусть . Тогда .

Таким образом, , где . Теорема доказана.

Определение 7. Пусть  - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, . Элемент  называется корнем многочлена , если .

Следствие 5.1. Пусть  - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, , . Тогда  - корень  делится на .

Следствие 5.2. При делении многочлена  на  получается остаток , равный .

Теорема 6. Пусть  - область целостности, , . Тогда многочлен  имеет не более  попарно различных корней. Другими словами, любой ненулевой многочлен -й степени над областью целостности имеет не более  попарно различных корней.

Доказательство. Доказательство проведём методом математической индукции по параметру .

) Пусть  не имеет корней, т.е.  имеет нуль корней и значит  - верно.

) Пусть . Предположим, что утверждение верно при .

) Докажем, что утверждение верно при : . Если  не имеет корней, то число корней равно  и  - верно. Пусть  имеет хотя бы один корень и  - корень  такой, что . Тогда по теореме Безу , где , причём  по пункту 2)  имеет не более  попарно различных корней.

Покажем, что все корни многочлена , отличные от , являются также корнями многочлена . Пусть  - корень ,
, т.е. так как  - область целостности)   - корень . Таким образом, многочлен  имеет корень , а все остальные корни многочлена  являются также корнями многочлена . Так как  имеет не более  попарно различных корней, то многочлен  имеет не более, чем  попарно различных корней.

Из 1)-3) по методу математической индукции следует, что утверждение верно для любого . Теорема доказана.

Следствие 6.1. Пусть  - область целостности, . Если многочлен  имеет более  попарно различных корней, то  является нулевым многочленом.

Определение 8. Пусть , , где  - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Многочлены  и  называются алгебраически равными, если , .

Определение 9. Многочлены  и  из  называются функционально равными, если , , т.е. значения многочленов  и  в любой точке кольца  совпадают.

Теорема 7. Пусть  - бесконечная область целостности,. Многочлены  и  алгебраически равны  и  равны функционально.

Теорема 8. Пусть  - поле, . Тогда существуют единственные многочлены  такие, что , причем .

Определение 10. Пусть  - поле, . Многочлен  называется наибольшим общим делителем многочленов  и  (или коротко, НОД  и ) и обозначается , если выполняются два условия: