Курсовая работа (т): Многочлены Чебышева и их основные свойства

Теорема 6. Многочлены Чебышева образуют ортогональную систему многочленов на отрезке  с весовой функцией  .

Доказательство. Сделаем замену . Получим

при . Теорема доказана.

Следствие 2. Если  - многочлен степени  и

при , то , где  - некоторое число.

Доказательство. В пространстве  со скалярным произведением

ортогональное дополнение к подпространству, порожденному многочленами , порождено многочленом Чебышева . Следствие доказано.

Теорема 7. Многочлены Чебышева можно вычислять по формуле

.

Доказательство. Индукцией по  доказывается, что при  , где  - многочлен степени , причем ,  и

 при .

Следовательно,  - многочлен степени .

Проверим, что , т.е.

при . Интегрируя по частям получаем

Первое слагаемое равно нулю, так как  при . Затем интегрируем по частям второе слагаемое и т.д. Чтобы в конце концов получить нуль, необходимо проинтегрировать по частям  раз. При этом на последнем шаге возникнет дифференциал . Это означает, что число  должно быть неотрицательно, т.е. .

Остается проверить, что . Для этого вычисляют . Действительно, что при  рекуррентное соотношение

принимает вид . Таким образом,

. Кроме того, . Теорема доказана.

Теорема 8. Пусть многочлен , где , таков, что  при . Тогда  при .

Доказательство. Воспользуемся тем, что  при , . Многочлен  полностью определяется значениями .

Где

Дифференцируя  раз соотношение (1), получим

Так как , то

Многочлен  в точке  принимает значение . Поэтому

Кроме того, . Далее, при  знак числа  не зависит от . Действительно, все корни многочлена  принадлежат отрезку . Поэтому все корни многочлена  также принадлежат этому отрезку. Следовательно,  при  и  при .

В итоге при  получаем

В этом случае из неравенства (2) следует, что  Теорема доказана.

Теорема 9. Пусть многочлен , где , таков, что  при . Тогда .

Доказательство. Так как , где , то по теореме 8 при  получим . Теорема доказана.

Теорема 10. При  и при  выполняется неравенство .

Доказательство. Для многочлена  выполняется условие теоремы 8. Поэтому . Теорема доказана.

Теорема 11. При  выполняется неравенство
.

Доказательство. Пусть . Рассмотрим многочлен . Проверим, что многочлен  удовлетворяет условию теоремы 8, т.е. что  при . При вещественном  функция  зависит только от , причем если , то  монотонно возрастает с возрастанием . Кроме того,

 при . Следовательно, если и , то .

Согласно теореме 8 при  выполняется неравенство , т.е. . Теорема доказана.

Определение 6. Для последовательности функций  рассматривают ряд . Если радиус сходимости данного ряда положителен, то функцию  называют производящей функцией последовательности .

Теорема 12. При  и  выполняются следующие равенства:

(а)

(б) .

Доказательство.

а) Пусть . Тогда . Поэтому . Кроме того,

при . Следовательно,

Теорема доказана.

б) Продифференцировав по  обе части равенства (а), получим

Следовательно,

Теорема доказана.

Теорема 13. Пусть  и . Тогда

Доказательство. Согласно теореме 12 (а),

Поэтому

Суммирование ведется до тех пор, пока . Поэтому . Теорема доказана.

Для многочлена :

где

При  выполняется равенство

а при  выполняется равенство

Таким образом, если , а при  многочлены  задаются формулой (1), то выполняется соотношение

где

Соотношения (1) и (2) можно записать следующим образом. Пусть  и , где  - некоторое фиксированное число. Тогда

(при  второе соотношение принимает вид ). Покажем, что соотношения (3) эквивалентны не только для указанных последовательностей, но и для произвольных последовательностей. Заметим, что первое соотношение имеет вид , а второе соотношение имеет вид . Поэтому каждое соотношение однозначно определяет как последовательность  по последовательности , так и последовательность  по последовательности . Для последовательностей , , где  и  - фиксированные наборы чисел, соотношения (3) эквивалентны, поскольку они эквивалентны для последовательностей , . Проверим, что для любой последовательности  можно подобрать такие числа  и , что

при . Выберем произвольные попарно различные числа . Тогда для чисел  получим систему линейных уравнений с определителем

Эта система уравнений имеет решение при любых .

Соотношение (3) позволяют получать нетривиальные тождества с биномиальными коэффициентами. Пусть, например,  при всех . Тогда