Курсовая работа (т): Многочлены Чебышева и их основные свойства

)  - общий делитель многочленов  и , т.е.  и ;

)  делится на любой общий делитель многочленов  и , т.е. если  и , то .

Лемма 4. Пусть  - поле, ,  и . Тогда НОД многочленов  и  и НОД многочленов  и  ассоциированы, т.е. .

Лемма 5. НОД двух многочленов определяется однозначно с точностью до ассоциированности.

Определение 11. Пусть  - поле, . Многочлен  называется наименьшим общим кратным многочленов  и  (или коротко, НОК  и ) и обозначается , если выполняются два условия:

)  - общее кратное многочленов  и , т.е.  и ;

Лемма 6. НОК двух многочленов определяется однозначно с точностью до ассоциированности.

Пусть  - поле, . Для нахождения НОК многочленов  и  применяется следующая формула: .

Теорема 9 (теорема о линейном представлении НОД). Пусть  - поле, , , . Тогда .

Определение 12. Пусть  - поле, , . Многочлен вида  называется формальной производной многочлена  и обозначается .

Нетрудно проверить, что формальная производная многочлена удовлетворяет следующим свойствам:

) ;

) ;

) ;

) .

Определение 13. Многочлен  положительной степени над полем  называется неприводимым над, если он не допускает представления в виде произведения двух многочленов над полем  меньшей степени.

Определение 14. Многочлен  положительной степени над полем  называется приводимым над , если он допускает представление в виде произведения двух многочленов над полем  меньшей степени.

Лемма 7. Многочлен первой степени неприводим над любым полем.

Лемма 8. Пусть  - поле,  - неприводимые над  многочлены. Если , то .

Замечание 1. Пусть  - поле. Тогда  - область целостности  - область целостности  все элементы области целостности  подразделяются на 4 вида:

 =

Замечание 2. Поскольку НОД и НОК многочленов определяются однозначно с точностью до ассоциированности, то многочлены  и  являются взаимно простыми .

Замечание 3. Пусть  - неприводимый над  многочлен. Если , то либо , либо .

Лемма 9. Пусть  - поле, ,  - неприводимый над  многочлен. f  p   и  взаимно просты.

Лемма 10. Пусть  - поле, ,  - неприводимый над  многочлен. Если , то хотя бы  из множителей  делится на , то есть .

Теорема 10. (Основная теорема о многочленах). Любой многочлен положительной степени над полем  допускает представление в виде произведения неприводимых над  многочленов, причем такое представление единственно с точностью до порядка следования множителей и ассоциированности.

Доказательство. 1) Существование. Пусть  и . Доказательство проведем методом математической индукции по параметру .

. Пусть  неприводим над  - искомое представление.

. Допустим, что утверждение верно для любого многочлена положительной степени  над полем .

. Докажем утверждение для многочлена . Если  неприводим над , то  - искомое представление. Пусть  приводим над

, где  и  и  - представление  и  в виде произведения неприводимых над  многочленов  - искомое представление.

Из 1-3 по методу математической индукции  утверждение верно для любого .

) Единственность. Пусть  и  - требуемые представления . Так как , то либо , либо . Пусть, например, . Так как левая часть  делится на , то  по лемме 4 хотя бы один из множителей делится на . Так как множители можем менять местами, то будем считать, что  по лемме 8  и по замечанию 3 , где  , . Так как левая часть  делится на , то, как и выше, получим  и , где , причем  и т.д., через конечное число шагов получим . Допустим, что  противоречие . Таким образом, представление многочлена  в виде требуемого произведения определяется однозначно с точностью до порядка следования множителей и ассоциированности. Теорема доказана.

Определение 15. Пусть  - поле. Многочлен  называется нормированным или приведенным, если .

Следствие 10.1. Любой многочлен  положительной степени над полем  допускает представление в виде: , где ,  - неприводимые над  нормированные многочлены.

Определение 16. Пусть ,  - поле, . Представление многочлена  в виде , где , - попарно различные неприводимые над полем  нормированные многочлены, , называется каноническим представлением многочлена , число  называется кратностью множителя . Если , то  называется простым неприводимым множителем многочлена .

Определение 17. Пусть ,  - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей,  - корень . Число  называется кратностью корня  многочлена , если , но .

В этом случае пишут  - данная запись означает, что  - это наибольшая степень , которая делит .