Материал: Начала математического анализа. Часть 2. Горбунов В.В., Соколова О.А

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

В методе дифференциала на отрезке a, b выбирается переменный отрезок a, x . На этом отрезке величина A становится функцией x . Находится главная часть приращения

A ,	соответствующая приращению длины отрезка на x :
dA	f x dx . Искомая величина A находится интегрированием

дифференциала dA в пределах от a до b :

A f x dx.

4.2. Площадь плоской фигуры в декартовых координатах.

Если	f (x) 0	на	отрезке				a, b , то площадь
криволинейной трапеции вычисляют по формуле
			b
		S		f	x dx.
			a
Если	f (x) 0 на	a, b , то
		b				b
	S		f (x)dx				f (x)	dx .
	S		f (x)dx				f (x)	dx .
		a				a
Если f(x) принимает на			a, b		значения разных знаков, то
			b
		S		f (x)		dx
		S		f (x)		dx

Пример 4.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной

линиями:	y		x		, y 0,			x	1,		x		3 (рис.9).

			x2
				1
Решение:
S	3	xdx				1	ln x2	1		3		1	ln10 ln 2	1	ln 5.

	1	x2 1		2						1	2			2

								86

x 2

Рис.9.

Площадь

фигуры,

ограниченной

линиями

1 x ,

x ,

a ,

b ,

если

выполняется

условие

x >

1 x , может быть вычислена по формуле:

2 x

1 x

dx.

Пример.4.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной

линиями y

1. (рис. 10).

Решение:

y y x 1

-1 0	5
	x
y	x2 3x 4

Рис.10.

Для нахождения абсцисс концов отрезка интегрирования приравняем y x2 3x 4 и y x 1. В результате получаем

квадратное уравнение				x2	4x 5			0 , решая которое находим
x1	1 и x2	5 . Тогда
	5				5						x3			5
S	x 1 x 2	3x 4 dx				x 2		4x 5 dx				2x 2	5x	1
S	x 1 x 2	3x 4 dx				x 2		4x 5 dx		3		2x 2	5x
	1				1					3
	1				1
	125		50	25	1		2	5	42	78		36 .

		3			3
		3			3

Рассмотрим случай, когда криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной уравнениями в параметрическом виде:

yx , t1 t t2 ,

прямыми x a и x	b и осью Ox , где	(t1 )	a,	(t2 ) b .
Формулу для	вычисления площади		криволинейной
			b
трапеции можно получить из формулы		S	ydx ,	выполнив

замену переменной x

x ,

(t)dt, y

(t) :

(t)

(t)dt .

Пример 4.3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной

эллипсом

a cost , 0

2 .

b sin t

Решение:

Вычислим четверть площади эллипса,

когда

x меняется

от 0 до a , в то время как t

меняется от

до 0 .

ydx

b sin t a cost dt

absin2 tdt

sin2 tdt

2	1 cos2t dt	ab t	sin 2t				ab				ab , S
2					2			0				ab.
ab								0				ab.


0	2	2	2		0	2		2		4
0			y		0
			y	Рис. 19
			b
									t	0
			O						a	x
									a

Рис.11.

4.3. Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат.

Полярная система координат образуются точкой O , называемой полюсом, полярной осью, представляющей собой луч, выходящий из полюса. Произвольная точка на плоскости характеризуется полярным радиусом , равным расстоянию

от полюса O до точки, а также полярным углом . Полярный угол отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки и меняется в пределах от 0 до 2 .

Для выяснения связи полярных и декартовых координат совместим с полюсом начало системы декартовых координат, а ось Ox - с полярной осью (рис.12). Рассмотрим точку M , имеющую декартовы координаты x, y и полярные

координаты , .

Из треугольника на рис 12 следуют формулы перехода от полярных координат к декартовым координатам и наоборот:

cos

y 2 ,

sin

Рис. 12.

Найдѐм площадь криволинейного сектора, ограниченного

линией

f (

)

и двумя

лучами:

выходящими

из

полюса.

Воспользуемся

методом

дифференциалов.

Выделим произвольный

внутренний

угол

, .

Рассмотрим площадь

части указанного криволинейного

сектора, заключенную между углами

. Назначим углу

приращение

d .

=f( )

Рис.

dψ

Рис. 13.

Тогда

приращение

функции

равно

площади

«элементарного

криволинейного сектора»

OBA

(рис.13).

Источник: https://studfile.net/preview/16563680/

Смотрите также:

4853
Оценка устойчивости наземных телекоммуникационных сетей связи
Проектная деятельность как средство формирования регулятивных универсальных учебных действий у младших школьников