Материал: Организация инновационной деятельности на предприятии. Анисимов Ю.П., Белых Л.М

При создании сетевого графика в соответствующих сегментах окружностей следует записать номера событий, а на векторах – продолжительность работ. После построения графической модели следует рассчитать оставшиеся параметры сети: сроки наступления событий, резервы времени событий и полный и свободный резервы времени работы.

Параметры сетевого графика

Важнейшим показателем сетевого графика являются резервы времени. Резервы времени каждого пути показывают, на сколько может быть увеличена продолжительность данного пути без ущерба для наступления завершающего события. Поскольку каждый некритический путь сетевого графика имеет свой полный резерв времени, то и каждое событие этого пути имеет свой резерв времени. Расчет начинается с определения резервов времени событий.

Расчет параметров события

Для определения резервов времени по событиям сети рассчитывают наиболее ранние tp(i)и наиболее поздние tп(i)сроки свершения событий. Любое событие не может наступить прежде, чем свершаться все предшествующие ему события и не будут выполнены все предшествующие работы. Поэтому ранний (или ожидаемый) срок tp(i) свершения i-ого события определяется продолжительностью максимального пути, предшествующего этому событию:

tp(j) = max [tp(i)+t(i,j)] (1)

Здесь максимум берется по всем работам, входящим в событие j, Uj – множество таких работ: j = 1,2…m. Таким образом, для вычисления раннего срока и наступления события нужно уже вычисленный ранний срок предшествующего события tp(i) сложить с длительностью работы t(i,j), идущей от предшествующего события к данному.

Задержка свершения события i по отношению к своему раннему сроку не отразится на сроке свершения завершающего события (а значит, и на сроке выполнения комплекса работ) до тех пор, пока сумма срока свершения этого события и продолжительности (длины) максимального из следующих за ним путей не превысит длины критического пути. Поэтому поздний (или предельный) срок tп(i) свершения i-ого события вен:

tп (i) = t kp – max t(L ci ) (2)

где L ci - любой путь, следующий за i-ым событием, т.е. путь от i-ого до завершающего события (c) сети.

Если событие i имеет несколько последующих путей, а следовательно, несколько последующих событий j, то поздний срок свершения события i удобно находить по формуле:

tп(i) = min [tp(j) – t(i,j)] (3)

Резерв времени R(i) i-ого события определяется как разность между поздним и ранним сроками его свершения:

R(i) = tп (i) – tp(i) (4)

Резерв времени события показывает, на какой допустимый период времени можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения комплекса работ.

Критические события резервов времени не имеют, так как любая задержка в свершении события, лежащего на критическом пути, вызовет такую же задержку в свершении завершающего события. Таким образом, определив ранний срок наступления завершающего события сети, мы тем самым определяем длину критического пути.

В качестве примера определим временные параметры событий и критический путь для сетевого графика, изображенного на рисунке 3.3. Найденные параметры сведем в таблицу 3.3.

При определении ранних сроков свершения событий tp(i) двигаемся по сетевому графику слева направо и используем формулу (1).

Для i=0 (начального события), очевидно tp(1)=0.

Для i=1* tp(1*) = tp(0)+ t(0,1*) = 0+4 = 4 (дня), так как для события 1* существует только один предшествующий путь 0

Для i=2 tp(2) = tp(1*)+ t(1*,2)=4+3=7, так как для события 2 существует один предшествующий путь 1

Для i=1 tp(1)= max{ tp(1*)+t(1*,1); tp(2)+t(2,1)}= max (4+3;7+0) = (7;7)= 7, так как для события 1 существует два предшествующих пути 1, из них надо выбрать максимальный, они оказались равновеликими.

Аналогично определяем сроки раннего начала для остальных событий сети:

tp(3*)= tp(1)+t(1,3*)= 7+12=19;

tp(3)= tp(3*)+t(3*,3)= 19+3=22;

tp(4)= tp(3*)+t(3*,4)= 19+7=26;

tp(5)= tp(3*)+t(3*,5)= 19+15=34;

tp(6)= max{ tp(4)+t(4,6); tp(3)+t(3,6); tp(5)+t(5,6)}= max{26+0;22+0; 34+3}=max{26;22;37}=37;

tp(7*)= tp(6)+t(6,7*)=37+10 =47

tp(7)= tp(7*)+t(7*,7)=47+4=51;

tp(8)= tp(7*)+t(7*,8)=47+4=51;

tp(9)= max{ tp(7)+t(7,9); tp(8)+t(8,9)}=max (51+2;51+0) = max(53;51)=53;

tp(10)= tp(9)+t(9,10)=53+3=56;

tp(11)= tp(7)+t(7,11)=51+10=61;

tp(12)= tp(9)+t(9,12)=53+1=54;

tp(13)=max{tp(10)+t(10,13); tp(11)+t(11,13);

tp(12)+t(12,13)}=max{56+0;61+0;54+0}=max(56;61;54)==61.

Длина критического пути равна раннему сроку свершения завершающего события 13:

t kp= tp(13)= 61 (дню).

При определении поздних сроков свершения событий tп(i) двигаемся по сети в обратном направлении, то есть справа налево и используем формулу (3).

Для i=13 (завершающего события) поздний срок свершения события должен равняться его раннему сроку (иначе изменится длина критического пути): tп(13)= tр(13)=61 (день).

Для i=12 tп(12)= tп(13)- t(12,13)=61-0=61, так как для события 12 существует только один последующий путь .

Для i=11 tп(11)= tп(13)- t(11,13)=61-0=61, так как для события 11 существует только один последующий путь 1.

Для i=10 tп(10)= tп(13)- t(10,13)=61-0=61, так как для события 10 существует только один последующий путь.

Для i=9 tп(9)=min{ tп(10)- t(9,10); tп(12)- t(9,12)}=min{61-3; 61-1}=min{58; 60}=58, так как для события 2 существует два последующих пути.

Для i=8 tп(8)= tп(9)- t(8,9)=58-0=58, так как для события 8 существует только один последующий путь.

Для i=7 tп(7)=min{ tп(11)- t(7,11); tп(9)- t(7,9)}=min{61-10; 58-2}=min{51; 56}=51, так как для события 7 существует два последующих пути.

Для i=7* tп(7)=min{ tп(7)- t(7*,7); tп(8)- t(7*,8)}=min{51-4; 58-4}=min{47; 54}=47, так как для события 7* существует два последующих пути .

Для i=6 tп(6)=min{ tп(7*)- t(6,7*)=min{47-10=37, так как для события 6 существует один последующий путь.

Для i=5 tп(5)= tп(6)- t(5,6)=37-3=34, так как для события 5 существует только один последующий путь.

Для i=4 tп(4)= tп(6)- t(4,6)=37-0=37, так как для события 4 существует только один последующий путь.

Для i=3 tп(3)= tп(6)- t(3,6)=37-0=37, так как для события 3 существует только один последующий путь.

Для i=3* tп(3*)=min{ tп(3)- t(3*,3); tп(4)- t(3*,4);tп(5)- t(3*,5)}=min{37-3; 37-7; 34-15}=min{34; 30;19}=19, так как для события 3* существует три последующих пути.

Для i=1 tп(1)= tп(3*)- t(3*,1)=19-12=7, так как для события 1 существует только один последующий путь.

Для i=2 tп(2)= tп(1)- t(1,2)=7-0=7, так как для события 2 существует только один последующий путь.

Для i=1* tп(1*)=min{ tп(1)- t(1*,1); tп(2)- t(1*,2)}=min{7-3; 7-3}=min{4; 4}=37, так как для события 1* существует два последующих пути.

Для i=0 tп(0)= tп(1*)- t(0,1)=4-4=0, так как для события 0 существует только один путь.

По формуле (4) определяем резервы времени i-ого события:

Резерв времени события 3 - R(3)=15 – означает, что время свершения события 3 может быть задержано на 15 дней без увеличения общего срока выполнения проекта. Анализируя сеть, видим, что не имеют резервов времени события 0,1*,1,2,3*,5,6,7*,7,11,13. Эти события и образуют критический путь.

Примечание. События, находящиеся на критическом пути выделены жирным шрифтом.

Расчет параметров работ.

Отдельная работа может начаться (и окончиться) в ранние, поздние и другие промежуточные сроки. При оптимизации графика возможно любое размещение работы в заданном интервале.

Очевидно, что ранний срок tрн(i,j) начала работы (i,j) совпадает с ранним сроком наступления начального (предшествующего) события i, то есть:

tрн(i,j)= tр(i). (5)

Тогда ранний срок tро(i,j) окончания работы (i,j) определяется по формуле

tро(i,j)= tр(i)+ t(i,j). (6)

Ни одна работа не может окончиться позже допустимого позднего срока своего конечного события j. Поэтому поздний срок tпо(i,j) окончания работы (i,j) определяется соотношением:

tпо(i,j)= tп(j), (7)

а поздний срок tпн(i,j) начала этой работы – соотношением

tпн(i,j)= tп(j)- t(i,j). (8)

Прежде чем рассматривать резервы времени работ, обратимся к резерву времени пути. Такие резервы имеют все некритические пути. Резерв времени пути определяется как разность между длиной критического и рассматриваемого пути:

R(L) = tkp-t(L). (9)

Он показывает, насколько в сумме могут быть увеличены продолжительности всех работ, принадлежащих этому пути. Любая из работ пути L на его участке, не совпадающем с критическим путем (замкнутым между двумя событиями критического пути), обладает резервом времени.

Полный резерв времени Rп(i,j) работы (i,j) показывает, на сколько можно увеличить время выполнения данной работы при условии, что срок выполнения комплекса работ не изменится. Полный резерв Rп(i,j) определяется по формуле:

Rп(i,j)= tп(j)- tр(i)- t(i,j). (10)

Полный резерв времени работы равен резерву максимального из путей, проходящего через данную работу. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы, если ее начальное событие свершится в самый ранний срок, и можно допустить свершение ее конечного события в самый поздний срок. Важным свойством полного резерва времени работы является то, что он принадлежит не только этой работе, но и всем полным путям, проходящим через нее.

Работы, лежащие на критическом пути, так же, как и критические события резервов времени не имеют.

Вычислим в качестве примера временные параметры работ для сетевого графика, изображенного на рисунке 2.3.

Вычисление временных параметров работы (i,j) покажем на примере работы (3*,4).

Ранний срок начала работы (по формуле (6)): tрн(3*,4)= tр(3*)=19. Ранний срок окончания работы (по формуле (7)): tро(3*,4)= tр(3)+ t(3*,4)=19+7=26. Поздний срок начала работы (по формуле (9)): tпн(3*,4)= tп(4)- t(3*,4)=37-7=30. Поздний срок окончания работы (по формуле (8)): tпо(3*,4)= tп(4)=37.

Таким образом, работа (3*,4) должна начаться в интервале [19, 30] и окончиться в интервале [26, 37] от начала выполнения проекта.

Полный резерв времени работы (3*,4) (по формуле (11)): Rп(3*,4)= tп(4)- tр(3*)- t(3*,4)=37-19-7=11, то есть срок выполнения данной работы можно увеличить на 11 дней, при этом срок выполнения комплекса работ не изменится.

Покажем на примере работы (3*,4), что полный резерв времени работы равен резерву максимального из путей, проходящих через эту работу.

Через работу (3*,4) проходит 6 полных путей:  0 1* 1 3* 4 6 7 11 13 = 50 0 1* 2 1 3* 4 6 7 11 13 = 50 0 1* 1 3* 4 6 8 9 12 13 = 31 0 1* 2 1 3* 4 6 8 9 12 13 = 31 0 1* 1 3* 4 6 8 9 10 13 = 33 0 1* 2 1 3* 4 6 8 9 10 13 = 33

Продолжительность максимального пути равна 50 дней. По формуле (10) его резерв R(L)= tkp-t(L)=61-50=11. Как видим, полный резерв времени работы (3*,4) равен резерву времени максимального полного пути, проходящего через эту работу. Если увеличить продолжительность работы (3*,4) на 11 дней, то полностью будет исчерпан резерв времени этого пути, то есть этот путь станет также критическим.

Следует отметить, что кроме полного резерва времени работы, выделяют еще свободный резерв работы.

Свободный резерв времени Rc работы (i,j) представляет собой часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока ее конечного события. Rc находится по формуле:

Rс(i,j)= Rп(i,j)- R(j). (11)

или Rс(i,j)= tр(j) - tр(i) - t(i,j). (12)

Для нашего примера Rс(3*,4) = 11 – 11 = 0

Для критического пути резервы всех его работ равно нулю. На других путях имеются работы с нулевым резервом времени.

Если увеличить время выполнения работы tij на её полный резерв Rп(i,j) , то работа станет критической. Весь резерв времени при этом будет затрачен на этой работе и остальные работы пути лишатся своих резервов.

Если увеличить время выполнения работ tij на величину свободного резерва Rс(i,j), то эту работу можно завершить не раннее раннего наступления завершающего события (j). Этот резерв можно использовать также на предшествующих работах (ij) некритического пути. При этом можно заканчивать предшествующие работы раньше раннего срока завершения конечных событий этих работ и за тем поджидать завершения других работ, входящих в данные собрания. Это равносильно увеличению продолжительности работ на величину ожидания. В таблице 4 представим только работы, которые имеют резервы времени без фиктивных работ.

У каждого проекта есть четко определенные начало и конец. Конец проекта наступает вместе с достижением всех его целей или когда становится ясно, что эти цели не могут быть достигнуты. Временность не означает краткосрочность проекта — многие проекты могут продолжаться несколько лет. В любом случае, проект конечен и не может состоять из постоянно продолжающихся действий.

Таблица 4

Расчет резервов времени работы

Лабораторная работа № 2 Исследование зависимостей экономических показателей от объемов инвестирования в инновационное производство

Цель: Освоить методы построения основных видов нелинейных уравнений парной регрессии с помощью ЭВМ (внутренне линейные модели), научиться получать и анализировать показатели качества регрессионных уравнений.

Рассмотрим случай, когда нелинейные модели с помощью преобразования данных можно свести к линейным (внутренни линейные модели).

Некоторая организация желает исследовать зависимость полученной прибыли Y (сотни тыс. руб.) от вложения средств в научные разработки выпускаемой продукции Х (тыс. руб.). Для этого рассматриваются 4 регрессионных уравнения: линейное: , гиперболическое , экспоненциальное и степенное . В результате наблюдений, получены данные:

Таблица 5

Исходные данные

Введем данные в таблицу вместе с подписями (ячейки А1-L2). Оставим свободными три строчки ниже таблицы для ввода преобразованных данных, выделим первые пять строк, проведя по левой серой границе по числам от 1 до 5 и выбрать какой либо цвет (светлый – желтый или розовый) раскрасить фон ячеек. Далее, начиная с A6, выводим параметры линейной регрессии. Для этого в ячейку А6 делаем подпись «Линейная» и в соседнюю ячейку В6 вводим функцию ЛИНЕЙН (категория «Статистические», см. предыдущую лабораторную работу). В полях «Изв_знач_у» и «Изв_знач_х» даем ссылку на В1-L1 и В2-L2, следующие два поля принимают значения по единице. Далее обводим область ниже в 5 строчек и левее в 2 строки (ячейки В6-С10) и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Результат – таблица с параметрами регрессии, из которых наибольший интерес представляет коэффициент детерминации в первом столбце третий сверху. В нашем случае он равен R₁=0,90627178. Значение F-критерия, позволяющего проверить адекватность модели F₁=87,02230833 (четвертая строка, первый столбец). Уравнение регрессии равно (коэффициенты а и b приведены в ячейках В6 и С6).