60 |
Устойчивость стержней |
Вследствие независимости дифференциальных уравнений (48) воз можны три различные и несвязанные один с другим возмущенные формы равновесия: две чисто изгибныеи одна чисто крутильная; каждой из них соответствует свое критическое значение нагрузки.
При граничных условиях
и = V = Ф = 0; и" = о" = ф" = 0 при 2 = 0 и г = I |
(49) |
(см. схему / в табл. 30) решением системы (48) служат выражени
4 |
7X2 |
; |
п |
7X2 |
^ , |
1Т2 |
^ е ^ \\ |
. |
и = А 51П |
—у |
|
V = В 5Ш —у ; |
<р = |
С з!п —у |
|
Для существования этих возмущенных форм равновесия должны вы полняться неравенства А Ф 0, В =$=0, С Ф 0, что приводит к следу ющим трем критическим значениям сжимающей силы:
За расчетную принимают наименьшую из найденных трех критиче ских сил.
При других способах закрепления концов стержня критические
значения сжимающей силы |
определяют |
по формулам |
|
, |
|
х |
я *Е1У |
х ~ |
(йО2 ’ Уу~ |
(ц/)а > |
|
|
в |
II |
•0^1 — |
|
где р — коэффициент длины при изгибных формах потери устойчивости; V — коэффициент длины при крутильной форме потери устойчивости. Значения р см. стр. 17, значения V приведены в табл. 30.
Случаи, когда сечение имеет одну ось симметрии. Пусть главная центральная ось поперечного сечения х является его осью симметрии.
Тогда ау = 0 и |
система |
уравнений |
(47) |
приобретает |
вид |
|
|
|
Е1Ч ? + Р 1 ? - 0' |
|
|
||
|
г» |
Р — |
— Рп |
^ |
= 0; |
(53) |
|
Ы х аг* + Р йг2 |
Рах№ |
|
|
||
р т |
_ 1 / р Л __ПТ \ |
__Ра |
__О |
|
||
|
' |
р |
йг2 |
Рйх йг2 |
|
|
Первое из этих уравнений соответствует чисто изгибной форме потери устойчивости (изгиб в плоскости симметрии стержня), а два других уравнения — изгибно-крутильной форме потери устойчивости
Тонкостенные стержни |
61 |
30. Значения коэффициента длины V |
|
Схема |
Коэффициент длины V |
/ |
Т |
> |
Т |
1 |
|
|
ЯГ**- |
|
|
2 |
|
|
|
|
— |
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
/ . |
Т |
Т / |
|
0,7 |
*г ± --------- аС
'н ? -----------------^
А ? — ^ 2
(изгиб из плоскости симметрии, сопровождаемый закручиванием се чений). В рассматриваемом случае чисто крутильная форма потери устойчивости невозможна.
При граничных условиях (49) система дифференциальных уравне ний (53) удовлетворяется решениями (50). При этом можно получить
критическую силу
ПгЕЗи
(54)
соответствующую изгибу в плоскости симметрии, а также уравнение для определения критических сил Р = Р1% Р = Р г, определяющих появление изгибно-крутильной формы потери устойчивости,
Р х - Р |
Рах |
(55) |
Рах |
= 0. |
|
|
|
В этом уравнении Рх и Рш находят по формулам (52).
62 |
Устойчивость стержней |
Корни квадратного уравнения (55) имеют вид
Рг
(Рх + Рш)2-4 Р х Р ш
(56)
Рх + Р(а +
А
+(Рдг + Яш)* -4 Р х Р ш
Так как Р х < Р 2, то расчетное значение критической силы опреде ляется как наименьшее из значений Ру и Р х. Если Ру <^ Р1%то раньше возникает нзгибная форма потери устойчивости (изгиб в плоскости сим метрии), если же Р у> Р1, то раньше наступает нзгибно-крутнльная форма потери устойчивости (изгиб из плоскости симметрии, сопрово
ждаемый закручиванием сечений). С уменьшением длины стержня отно шение Р1 : Ру возрастает и вместе с этим становится все более возмож ным, что расчетной окажется изгибно-крутильная форма потери устой чивости. В качестве примера на рис. 55, а показано сечение дуралю-
минового |
стержня, а на рис. 55, б — графики |
критических сил Рх |
и Ру в зависимости от длины стержня I. При I < |
160 см расчетной ока |
|
зывается |
изгибно-крутильная форма потерн устойчивости. |
|
При изгибно-крутильнон возмущенной форме равновесия стержня центр поворота сечении не совпадает ни с центром тяжести, ни с центром изгиба; координата сх центра поворота определяется формулой
ах. |
/Е-Т* |
Т о н к о ст е н н ы е ст е р ж н и |
63 |
Общий случай поперечного сечения. В общем случае для определе ния критических значений сжимающей силы нужно исходить из полной системы дифференциальных уравнений (47). При граничных условиях (49) критические значения являются корнями уравнения:
Р у - Р |
О |
—Рау |
|
|
О |
Рх - Р |
Р“х |
= 0 , |
(58) |
— Раи |
Рах |
( ' • - ' К |
|
|
|
|
|
|
которому можно придать вид
ОзР** ■}' о,/*- а^р о, = О*» |
(59) |
здесь
(60)
Трем корням кубического уравнения (59) соответствуют три различ ные изгибно-крутильные формы равновесия; чисто изгибная форма рав новесия в общем случае невозможна. Наименьший из корней прини мается за расчетное значение критической силы. Этот корень всегда меньше, чем Рх% Ру или Р
Внецентренно сжатые стержни
В общем случае внецентренного сжатия ось стержня перестает быть прямолинейной, а сечения стержня закручиваются. При этом упругое равновесие стержня описывается системой дифференциальных уравнений
здесь ех и еу — координаты точки приложения сжимающей силы в си стеме главных центральных осей;
(62)
64 Устойчивость стержней
При ех = еу = 0 система дифференциальных уравнений (61) пере ходит в систему дифференциальных уравнений (47), относящихся к слу чаю центрального сжатия.
Случай, когда сила приложена в центре изгиба сечения. При этом
ех = |
ах и еу = ау и система дифференциальных уравнений (61) распа |
|||||||
дается на три независимых уравнения |
|
|
|
|||||
|
|
ГГ |
й*и |
I |
Р *~и |
- 0; |
|
|
|
|
|
|
|
4г2 |
|
|
|
|
|
Р1 |
^ |
+ |
р |
- О* |
|
(63) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
[(гр -Ь 2Млг + |
2$уау) Р — ^ к ] |
42ф |
°- |
|||
|
- |
|||||||
Первые два уравнения соответствуют изгибным возмущенным фор |
||||||||
мам |
равновесия, |
а третье — чисто крутильной |
форме |
равновесия. |
||||
При граничных условиях (49) соответствующие критические значения
нагрузки |
определяют |
по формулам |
|
|
|
Рх = |
л2Е^x |
|
и |
|
Ри = ~ |
|||
|
|
|
|
(64) |
|
|
гр + |
2$хах + |
2Руау |
Сечение |
имеет одну ось симметрии |
и сжимающая сила приложена |
||
в одной из точек этой оси. Пусть ось х совмещена с осью симметрии
поперечного сечения. Тогда еу = |
0; ау = |
0 и система дифференциальных |
||||
уравнений (61) принимает |
вид |
|
|
|
|
|
|
Е1У |
4*и |
, п <Ри |
0; |
|
|
|
4г* |
4г2 = |
|
|||
4*0 |
р й2о |
0 . |
|
42у |
п |
|
йг* |
+ Р |
<1г* |
Р(а* |
ех) й2 - -0, |
||
|
|
|
|
|
|
(65) |
- 1 Г + [ Р (Г1 + 2РЛ) - |
™*] % |
~ |
||||
|
_ Р (а х _ |
в, ) ^ |
= |
0. |
|
|
Первое уравнение определяет чисто изгибную форму потери устой чивости, которой соответствует критическая сила
п2Е^и
(66)
I2