Устойчивость плоской формы изгиба |
71 |
72 |
Устойчивость стержней |
Продолжение табл. 35
Схема Критическая нагрузка
а—Ч; |
|
|
„ |
к V ВУС |
|
|
|
|
кр |
Т------- |
|
||
Я г - - 1- — |
П |
0 . 1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
|
|
|
53,2 |
35,2 |
28,5 |
|
|
|
|
кр |
У ВУ |
|
|
|
|
|
4 8 , |
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
КР— |
к]Гвус |
|
|
ш |
|
т |
|
|
|
/8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0,2 |
|
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
к |
138 |
67,1 |
47,0 |
40.1 |
39,9 |
46,2 |
64,2 |
|
|
Я Щ 1 Ш Ц И П |
|
|
|
У вус |
|
||||
|
|
(«'>№ - 84'8 Ч |
? - |
|
|||||
|
3 ^ |
|
|
|
|
кр |
к\ГВуС |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тг |
|
|
|
а:1 |
0,1 |
0,2 |
|
0,4 |
0.5 |
0,6 |
0.7 |
|
0,9 |
|
145 |
67,6 |
|
40,7 |
41,8 |
50,5 |
75,0 |
150 |
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
в ис |
|
Я |
<,/)*„= 86,4 |
|
|
|
Устойчивость плоской формы изгиба |
|
73 |
||||
|
|
|
|
|
|
Продолжение табл. 35 |
||
|
Схема |
|
Критическая |
нагрузка |
|
|||
|
|
|
Вертикальные |
перемещения |
опорных се |
|||
’3У~-а^\р |
|
чений предполагаются ненозможными |
|
|||||
|
|
|
к\ГЩс |
|
|
|||
|
|
|
а : I |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
|
|
|
|
393 |
114 |
63,1 |
47,2 |
43,2 |
|
|
|
Вертикальные |
перемещения |
опорных се |
|||
|
|
|
чений предполагаются невозможными |
|
||||
|
|
|
|
|
|
У ВС |
|
|
|
|
|
|
(<70, „ = 98,7 — |
|
|
||
|
Н—а |
|
|
|
“ V в ас |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Н---------1- |
|
|
|
|
|
|
|
а : I |
0.1 |
0.2 |
0,4 |
0,5 |
0.6 |
0,7 |
0,8 |
0.9 |
|
|
|
52,6 |
50.2 |
57,7 |
82,2 |
161 |
621 |
Я ШШШПНН! |
|
(,1)кр= 120,6 |
|Л в с |
- |
|
||
|
|
УМ- |
|
||||
П |
|
|
|
и У в ис |
|
|
|
— а \р |
|
КР |
|
I* |
|
|
|
в—|Р |
|
|
|
|
|||
а : I |
| |
0.1 |
0,2 |
| |
0,3 |
0.4 | |
0,: |
к |
| |
608 | |
155 |
| 80,9 [ |
58,6 |
53.0 |
|
1БШ Ш Ш 1 Щ |
|
но, |
= 129.1 |
У в ис |
|
||
|
4 — |
|
|||||
74 |
Устойчивость стержней |
Для определения критических соотношении между несколькими дей ствующими на полосу силами может быть использован метод наложе ния. Он позволяет получить результат по критическим значениям более простых нагрузок, из кото
рых состоит заданная нагрузка. Для схемы, показанной на рис.
57, критические комбинации сил Я< определяют по формуле
Рис. 57 |
^ |
——- ■= 1, |
(76) |
* = |
1 |
|
|
|
|
где Я,- — заданные силы; Р'1КР — критические значения сил (определен ные в предположении, что другие нагрузки отсутствуют).
Если в формуле (76) использованы точные значения критических сил Р(К , то вычисление дает заниженные значения критических на грузок. При использовании приближенных значений для Я</Ср, знак
Рис. 58
погрешности, получаемой при пользовании формулой (76), остается неопределенным.
Критическая нагрузка уменьшается с повышением уровня точек приложения и увеличивается с понижением этого уровня. На рис. 58
Рис. 59
дан график, характеризующий этот эффект для схем 2 и 5 в табл. 32; в последнем случае предполагаем, что к = 0,5. По оси абсцисс отложены
значения безразмерного параметра-^- " | / " ( б — расстояние от оси
балки до уровня приложения нагрузки; если нагрузка приложена выше оси. то 6 >> 0, в противном случае б < ; 0). По оси ординат отложены зна-
Устойчивость плоской формы изгиба |
75 |
пения коэффициента ка, на который следует умножить критическое
значение, подученное в предположении, что нагрузка приложена к оси балки.
Если кроме поперечной нагрузки на полосу действуют сжимающие силы, то критические значения поперечной нагрузки уменьшаются. Для консольной полосы (рис. 59, а) критическая сила составляет
|
|
РК |
— к0 УВуС |
|
|
|
|
(77) |
||
Значения коэффициента |
к0 принимают: |
|
|
|
|
|
||||
N |
/ ~ С ~ |
- 0 ,1 |
0 |
0,1 |
0,2 |
0,33 |
0,5 |
1,0 |
2,0 |
3.0 |
|
- 0 ,2 |
|||||||||
Р V |
В У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
4,58 |
4,29 |
4,01 |
3,74 |
3,47 |
3,14 |
2,77 |
1,95 |
1,15 |
0,80 |
Для двухопорной полосы (рис. 59, б) критическое значение момента
МКР - |
л ,У в уС |
|
м * |
(78) |
|
I |
|
л 2В„ |
|
В других подобных случаях можно пользоваться приблн> |
|
|||
зависимостью |
|
|
|
|
|
|
_ к |
|
(79) |
|
гк0 |
= I. |
|
|
|
"кО |
|
|
|
в которой Рк м Ык — критические значения поперечной и продольной нагрузок при их совместном действии; Рк0 и Nк0 — критические зна
чения этих нагрузок при действии каждой из них в отдельности.
Балка двутаврового профиля
Дифференциальные уравнения устойчивости плоской формы изгиба имеют вид
2 Вуи" -г |
= 0; |
~ВУУ У - Сф" + Муа" = 0;
здесь к — высота балки. В сложных случаях отказываются от решения системы уравнений (80) и используют энергетический метод, исходя из следующего выражения для полной потенциальной энергии:
О |
О |
О |
в котором О — жесткость одной из полок двутавра при изгибе в ее плоскости.
Формулы для определения критических нагрузок в зависимости от параметров балки, а также безразмерного коэффициента
/2 |
2С |
(82) |
|
* “ /12 ’ |
Л |
||
|
даны в табл. 36.
76 |
Устойчивость стержней |
36. Критические нагрузки для некоторых случаев нагружения двутавровых балок
Витые пружины |
77 |
ВИТЫЕ ПРУЖИНЫ Общие сведения
При сжатии витых пружин возможна потеря устойчивости двух питов: а) если в процессе нагружения не происходит посадки витков, то при определенном (критическом) значении сжимающей силы исход ная форма равновесия становится неустойчивой и появляется бесконечно близкая к исходной возмущенная форма равновесия, характеризуемая изгибом оси пружины (эйлеров тип потери устойчивости); б) если в про цессе нагружения происходит посадка витков (или если пружина изго товлена с витками, посаженными один на другой), то при дальнейшем росте сжимающей силы может произойти потеря устойчивости путем перескока в новое состояние равновесия (существенно отличающееся от исходного).
Эйлерова потеря устойчивости может произойти также при скручи вании витой пружины; при достижении скручивающими моментами критических значений основная форма равновесия становится неустой чивой и происходит переход в новое состояние равновесия, при котором ось пружины становится кривой двоякой кривизны.
При растяоюении витых пружин возможен особый вид потери устой чивости, характеризуемый перекашиванием витков; это явление воз можно только в тех случаях, когда пружина навита с начальным натя жением и посадка витков не нарушается вплоть до потери устойчивости.
Потеря устойчивости сжатой пружины при отсутствии посадки витков
Круглая пружина (рис. 60). О б о з н а ч е н и я: |
Вх — Е1Хи |
Ву = |
||
= ЕЗу — жесткости |
сечения витка при |
изгибе |
относительно |
глав |
ных центральных осей инерции сечения; |
С=(НК—жест |
|
||
кость сечения витка при кручении; Ю— средний диаметр |
|
|||
пружины; # 0 — начальная высота пружины. |
|
|
||
Если выполняется |
неравенство |
|
|
|
О |
< Х Г |
' (--&•) |
(83) |
Но. |
|
■+* |
|
|
у |
|
то потеря устойчивости вообщеневоз;можна. Коэффициенту в зависимости от закрепления концов пружины имеет сле дующие значения:
Нижний виток защемлен, верхний виток свободен Оба торцовых витка п о д п ер ты ...........................
Нижний виток защемлен, верхний виток подперт Оба торцовых витка защемлены
Рис. 60
У
2,47
9,87
20,2
39,5
Если неравенство (83) не выполняется, то возможна потеря устой чивости, причем критическую осадку определяют по формуле
- Ы - / |
■+* Ш ’} « |
|
1 — |
78 |
|
|
|
Устойчивости стержней |
|
||
По критической осадке (84) можно определить критическую силу |
|||||||
|
|
|
|
Р КР = |
4СХкр |
(85) |
|
|
|
|
|
ппЭ* у |
|||
здесь |
п — число витков. |
|
|
|
|||
Если пружина имеет подпертые торцовые витки и изготовлена из |
|||||||
круглого прутка, то условие (83) принимает вид |
|
||||||
|
|
|
|
^ |
|
< 2,55, |
(86) |
а формулу (84) для критической осадки можно записать |
|
||||||
|
|
|
\ кр = |
0.833Я, (1 - |
] / 1 - 6 , 5 8 ^ У |
(87) |
|
Призматическая |
пружина из круглого прутка (рис. 61). Вспомога |
||||||
|
|
|
тельные коэффициенты |
|
|||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
У = ' 12Р(1 + Р) + 3,2(1 + рз)> |
|||
|
|
|
|
ь |
= |
1 |
|
|
|
|
|
2 [ 1 - 1 , 0 7 у ( 1 + Зр)] |
(88) |
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Рис. |
61 |
|
|
$2 = в у ( 1 + 0 , 8 Р ) Ь ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
р = |
< |
1 — отношение |
короткой стороны витка |
к длинной. |
||
В частности, для пружины с квадратным основанием у = |
0,099; ^1 = |
||||||
= 0,868; |
р2 = |
0,808. |
|
|
|
||
Потеря устойчивости невозможна, если выполняется неравенство |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
(89) |
В частности, пружина с квадратным основанием и подпертыми тор |
|||||||
цовыми витками не |
теряет устойчивость, если |
|
|||||
|
|
|
|
Н0 < 7,94а. |
(90) |
||
Если условие (89) нарушено, то потеря устойчивости происходит |
|||||||
при |
осадке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^кр = #061 ^ |
— |
'ЛЬ (т 7 ^ ) ] |
|
|
(критическая осадка). Для пружины с квадратным основанием |
|||||||
|
|
%кр = 0.868Я, [х — 1 /^ 1 — 0,808т) ( - ^ - ) ’] . |
(92) |
||||