Витые пружины |
79 |
После вычисления критической осадки находят критическую силу
|
йуСккр |
Ркр — |
(93) |
|
па3 |
Потеря устойчивости сжатой пружины с посаженными витками
Сжатая пружина с посаженными витками изображена на рис. 62. При силах Р < Р* единственной формой равновесия служит начальная форма, показанная на рис. 62, а. При силах Р > Р* существуют три состояния равновесия: одно состояние равновесия с прямолинейной осью пружины (рис. 62, а) и два состояния равновесия, которым соответствует изгиб оси пружины (рис. 62, б); устойчивой является форма, которая характеризуется большими прогибами. Кривая состояний равновесия
показана на рис. 63, причем крестиками отмечены неустойчивые искрив ленные состояния равновесия. Если Р > Р*, то для перехода из основ ной формы равновесия в искривленную форму необходимо преодолеть некоторый деформационный барьер, т. е. создать возмущение в виде дополнительной боковой силы, способной создать достаточно большой изгиб оси (больший, чем изгиб, характеризуемый крестиками на рис. 63). За критическое значение можно принять наименьшее значение сжима ющей силы, при котором становятся возможными искривленные формы равновесия, т. е. величину Р*, определяемую приближенной формулой
Ей*
Р* |
пЮ ’ |
(94) |
где п — число витков; й — диаметр сечения |
витка; Э — диаметр |
|
пружины. |
|
|
Потеря устойчивости |
скручиваемой |
пружины |
Ниже даны расчетные формулы, относящиеся к пружине из круглого прутка.
О б о з н а ч е н и я : В = Е^х — жесткость сечения витка при изгибе; С — жесткость сечения витка при кручении; И — средний диа метр пружины; -V— коэффициент Пуассона; п — число витков.
80 |
Устойчивость стержней |
Если расстояние между торцами может свободно изменяться, то критическое значение скручивающего момента определяют по формуле
Мкр — |
4В |
(95) |
|
пО (2 + |
|||
|
V ) |
В случае* когда расстояние между торцами (их центрами) остается неизменным, то критическое значение скручивающего момента со ставляет
4В |
|
Мкр = ± пО (2 + V ) [ 1 + 7 Т 7 “ 51п “»]> |
(96) |
где а 0 — угол подъема витков. Если момент закручивает пружину, принимают верхние знаки в формуле (96), если раскручивает — нижние.
Потеря устойчивости растянутой пружины с посаженными витками
Характер потери устойчивости такой пружины показан на рис. 64. Критическое значение растягивающей силы
_ |
Ей5 |
|
Ркр “ |
8Д3 ’ |
(97) |
где й — средний диаметр пружины; с1— диаметр сечения витка.
При отношении |
10 (для пружинных сталей) до |
потери устойчивости возникнут пластические деформации
иформула (97) становится непригодной. Она непригодна
ив тех случаях, когда до потери устойчивости произошло раскрытие зазоров между витками (если зазоры раскры ваются, то потеря устойчивости вообще становится невоз можной).
Вслучае, когда происходит потеря устойчивости и воз никает перекашивание витков, то после разгрузки пру жина не восстанавливает свою исходную форму вследст
Рис. 64 вие действия сил трения между витками.
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ ЗА ПРЕДЕЛАМИ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ
Общие сведения
Приведенные ранее соотношения относятся к случаям потери устой чивости в упругой области, т. е. справедливы при условии, что вплоть до достижения критического состояния максимальные напряжения не превышают предела пропорциональности материала. Ниже приведены сведения, необходимые для расчетов на устойчивость сжатых стержней с первоначально прямолинейной осью, если критическое напряжение, определяемое по формуле Эйлера,
(98)
Сжатые стероти за пределами пропорциональности |
81 |
превосходит предел пропорциональности апц. В формуле (98): Е — мо
дуль упругости |
материала; А.= ——------ гибкость стержня; р. — коэф- |
||
фициент длины, |
|
гШ1П |
|
зависящий от способов закрепления концов стержня; |
|||
гпип = |
— наименьший радиус инерции поперечного сечения; |
||
^ т^а — наименьший момент |
инерции поперечного сечения; |
Р — пло |
|
щадь поперечного сечения. |
Если |
|
|
|
|
Оэ ОпЦ> |
(99) |
то потеря устойчивости происходит за пределами пропорциональности; при этом формула (98) уже не определяет истинного значения крити ческого напряжения.
Критической гибкостью называют величину
зависящую только от свойств материала стержня. Значения |
ориенти |
|||
ровочно следующие: |
|
|
|
|
Сталь: |
|
К |
|
|
|
Ст.З . . |
|
105 |
|
|
15Х С Н Д ................ |
|
90 |
|
|
Хромомолибденовая |
|
55 |
|
Дуралюмнн |
|
50 |
|
|
Чугун |
|
55 |
|
|
При |
потеря устойчивости |
происходит в |
пределах |
пропор |
циональности |
материала, при % |
выполняется |
неравенство (99) |
|
и необходимо |
пользоваться данными |
ниже указаниями. |
|
|
Теория продольного изгиба центрально сжатого стержня
Теория Кармана. Теория основана на идее Эйлера о том, что потеря устойчивости выражается в появлении смежных форм равновесия при неизменной нагрузке. Предполагается, что свойства материала при сжатии стержня характеризуются некоторой опытной диаграммой о = а (в) (рис. 65). Если потеря устойчивости происходит при некото ром напряжении окр^> опЧ (см. точку т на рис. 65), то в волокнах, расположенных с выпуклой стороны стержня, возникнут дополнитель ные напряжения сжатия
Д а_=Я *Д 8_, |
(101) |
здесь Е* = ^ — касательный модуль (зависящий от напряжения |
аПц)' |
Соответственно, в волокнах, расположенных с вогнутой стороны стержня, возникнет разгрузка, которую можно считать следующей линейному закону:
Да+ = Е Де+. |
(102) |
82 |
Устойчивость стержней |
При этом эпюра равномерно распределенных напряжений сжатия (рис.^ 66, а) принимает вид, изображенный на рис. 66, б. При потере устойчивости нейтральная ось смещается в сторону от центра тяжести поперечного сечения, и переход в возмущенную форму равновесия
10
■Ч'
&хр
О)
сопровождается укорочением оси. Основанные на этих предпосылках дальнейшие выкладки приводят к следующей формуле для критической силы:
п _я2^т1 п |
(103) |
|
* “ № )2 ’ |
||
|
в которой Т — приведенный модуль (двойной модуль, модуль Кармана), зависящий от модулей Е и Я*, а также от формы сечения. Критическое напряжение
ОкР = ^ - |
(1°4> |
|
Для прямоугольного сечения |
|
|
Т = -т -г^2ЕЕ* |
(105) |
|
(У е + У Ю * |
|
|
для двутаврового сечения с весьма тонкой стенкой |
|
|
Т = |
4ЕЕ* |
(106) |
|
Е + Еш' |
|
Для материала, имеющего ясно выраженную площадку текучести, Я* — 0 и приведенный модуль формально обращается в нуль. Это озна чает, что сжимающая сила не может превзойти значения РПц = оПцЕ, которое и должно быть принято за критическое.
Кривая «критическое напряжение — гибкость» на основе теории Кармана строится следующим способом. Располагая кривой с = а (е) (и, следовательно, значением Е), для каждого значения окР определяют соответствующее значение касательного модуля Я* и затем по формулам типа (105) или (106) вычисляют значение приведенного модуля Т. После этого по формуле (104) определяют гибкость
- Л " |/" - |
Т |
(107) |
|