У ст ой чи вост ь п л а с т и н о к в п р е д е л а х у п р у го с т и |
109 |
где а — угол между направлением складок и длинной стороной пла стинки. Угол а близок к 40°. Сжимающими напряжениями а 2 можно пренебречь.
К в а д р а т н а я п л а с т и н к а с о с т о р о н о й а, ш а р н и р н о о п е р т а я по к р а я м , и с п ы т ы в а е т д е й с т в и е
с д в и г а ю щ и х у с и л и й т, распределенных |
по всем |
кромкам; |
края пластинки сближаются свободно (рис. 17). |
лишь |
при значи |
Модель диагонально растянутого поля уместна |
тельно развитой закритической деформации пластинки. В случае, если критическое напряжение сдвига превышено незначительно, ис следование должно основываться на теории гибких пластинок. Ре зультаты решения задачи, основанного на теории гибких пластинок и выполненного с помощью электронной цифровой машины, приведены на рис. 18 [1 ]. Здесь принят параметр нагрузки
—_ иив
через и)А = - - |
и |
= |
обозначены безразмерные прогибы в точ |
ках А |
и В |
|
Величина"Е>в на рис. 18 отвожена с об |
ратным знаком. |
|
КРУГЛЫЕ ПЛАСТИНКИ |
|
|
|
||
При потере устойчивости круглых пластинок могут иметь место случаи осесимметричного и несимметричного выпучивания. При осе симметричном выпучивании срединная поверхность пластинки пере ходит в поверхность вращения. Несимметричная форма потери устой чивости возникает, например, в случае подкрепленной пластинки при радиальном сжатии, либо пластинки, воспринимающей поперечное давление и имеЕощей большие прогибы [1 ]; в последнем случае при достаточно больших прогибах у контура пластинки появляются зна чительные сжимающие напряжения, что и ведет к потере устойчивости. При несимметричном выпучивании образуется ряд вмятин как в радиаль ном, так и в окружном направлениях.
При исследовании осесимметричной деформации сплошной пла стинки исходят из дифференциального уравнения
здесь О — цилиндрическая жесткость пластинки; 0 = — ; ад —
прогиб; г — радиальная координата; Н— толщина пластинки.
Если интенсивность радиальных сжимающих усилий, равномерно распределенных по контуру пластинки, равна р, то в уравнении (44) следует принять <тг — —р.
В случае кольцевой пластинки и осевой симметрии изогнутой по верхности дифференциальное уравнение имеет вид
/<«) |
, |
|
___ 0 \ |
__ |
О \ йг2 |
г |
йг |
г2 ) |
(45) |
где Со — постоянная. |
|
|
|
|
110 |
|
У с т о й ч и во с т ь п л а с т и н о к |
|
В |
работе [1] |
приведены также |
исходные зависимости для исследо |
вания задач при несимметричном |
выпучивании. |
||
О |
граничных |
условиях для круглых пластинок см. т. 1, гл. 17. |
|
Ниже приведены решения отдельных задач.
К р у г л а я п л а с т и н к а ш а р н и р н о з а к р е п л е н а по к о н т у р у и п о д в е р г а е т с я д е й с т в и ю р а д и а л ь н ы х с ж и м а ю щ и х у с и л ий р, равномерно распределенных вдоль контура.
и,
Р и с . 20
При шарнирном закреплении краев (рис. 19) и защемлении (рис. 20) по контуру критическое напряжение будет
^ = к т = к т ^ ) ( - т ) ' |
(46) |
Для случая, показанного на рис. 19, К = 4,2; для случая на рис. 20
К = |
14,68. Этим двум случаям соответствует осесимметричная форма |
||
потери устойчивости. |
Гк |
||
К о л ь ц е в а я п л а с т и н |
|||
|
|||
ка , |
с ж а т а я р а д и а л ь |
|
|
н ы м и у с и л и я м и , р а в - |
|
||
н о м е р н о р а с п р е д е л е н н ы м и п о в н у т р е н н е м у и
н а р у ж н о м у |
к о н т у р а м (рис. 21) |
и имеющим одинаковую |
||
интенсивность (р± = р 2 = |
р) [1 ]. |
|
||
Критическое |
напряжение |
|
||
|
|
|
|
(« ) |
Значения |
коэффициента |
К выбирают по графикам на рис. 22, где |
||
приведен |
при V = 0,3 |
для следующих |
случаев закрепления пла- |
|
Устойчивость пластинок в пределах упругости |
111 |
стинкн: 1 — защемление по обоим краям; 2 — шарнирное опирание по обоим краям; 8 — защемление по внешнему краю и свободное смеще ние, без поворота, по внутреннему; 4 — шарнирное закрепление по внешнему краю и свободное смещение, без поворота, по внутреннему.
На графики нанесены также числа т узловых диаметров, которым
а
соответствуют наименьшие напряжения при заданном отношении - г - .
о
Для первых двух случаев опираиия пластинки, при а 0 (сплошная
пластинка с подкрепленным центром), число узловых диаметров т = 1. При -^ -> 0 ,1 характер выпучивания различен: защемленная пла
стинка получает тем больше вмятин по окружности, чем больше отно-
а
шение — , шарнирно опертая пластинка выпучивается осесимметрично.
ПЛАСТИНКИ ДРУГИХ ФОРМ
Рассмотрим несколько конкретных случаев расчета пластинок, имеющих форму равностороннего треугольника и параллелограмма.
Если р а в н о с т о р о н н я я т р е у г о л ь н а я п л а с т и н к а , шарнирно опертая по всему контуру, подвергается равно
1
/ \
ттпттпт
Рис. 23
мерному сжатию со всех сторон (рис. 23) [3 ], то критическое напряжение будет
„ |
я *Е |
/ |
К \ 2 |
, . 0, |
°кр ~ 4 |
12 (1 — V2) |
( |
а ) |
(48* |
Для пластинки, имеющей форму п а р а л л е л о г р а м м а , |
шар |
|||
нирно опертой' по всем кромкам и равномерно сжатой в направлении,
параллельном двум сторонам |
(рис. |
24), |
имеем |
[4] |
|
|
с = Ь 5Ш *р; |
&— а 5ш <р. |
|
||||
Меньшую из величин с и й обозначим через /. Тогда |
|
|||||
„ |
п2Е |
( |
к |
\2 |
|
|
Чк р - К |
12 (1 — Vя) |
\ |
{ |
) |
*49) |
|
Значения коэффициента К приведены в табл. 11.
112 |
|
У с т о й ч и во ст ь |
п л а с т и н о к |
|
|
||
|
11. |
Значения |
коэффициента К в |
формуле |
(49) |
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
ф° |
|
|
|
~Ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
V* |
8/, |
1 |
2 |
3 |
00 |
90 |
1 |
1,56 |
2,08 |
4,0 |
4,00 |
4,0 |
4,0 |
60 |
1,31 |
1,95 |
2,60 |
4,99 |
4,54 |
4,13 |
4,0 |
45 |
1,86 |
2,48 |
3,20 |
5,96 |
5,0 |
4,25 |
4,0 |
30 |
2,71 |
3,28 |
3,90 |
6,68 |
5,30 |
4,35 |
4,0 |
В случае действия касательных усилий, равномерно распределен ных по всем кромкам, на приведенную выше пластинку, следует разли чать положительный сдвиг (рис. 25, а) и отрицательный сдвиг (рис. 25, б).
Критическое напряжение
|
|
„ |
л2Е |
( к |
|
|
*кр |
^ 1 2 ( 1 |
— V3)' \ ~ Г ) |
(50) |
|
Значения коэффициента К принимают по табл. 12. |
|||||
|
12. Значения |
коэффициента |
К в формуле |
(50) |
|
Ь |
|
|
|
<Р° |
|
а |
90 |
75 |
со |
45 |
30 |
|
|||||
1,0 |
9,34 |
13,78 |
20,58 |
31,9 |
53,5 |
9,34 |
6,64 |
4,74 |
3,58 |
2,46 |
|
0,7 |
7,26 |
10,6 |
15,52 |
23,8 |
39,7 |
7,26 |
5,25 |
3,79 |
2,69 |
1,78 |
|
0,4 |
6,19 |
9,9 |
12,70 |
18.91 |
30,65 |
6,19 |
4,30 |
3,21 |
2,17 |
1,37 |
|
0 |
5,35 |
7,61 |
10,9 |
16,1 |
25,9 |
5,35 |
3,78 |
2,63 |
1,79 |
1,11 |
|
П р |
и м е ч а н и е . В числителе указаны значения коэффициен |
та К при |
положительном сдвиге, в знаменахеле — при отрицательном. |