Устойчивость пластинок при высоких температурах |
121 |
в случае удлиненной пластинки ширины Ь при шарнирном опирании краев критическая деформация в упругой области будет
« 3,62 ( А ) 2
Считают, что наступит выпучивание при ползучести, когда сближе ние нагруженных кромок достигнет величины е к Р . Ю. Н. Работновым и С. А. Шестериковым предложен динамический критерий устойчивости
пластинок |
(подробно |
о критериях выпучивания при ползучести |
см. гл. VI |
в работе |
[1]). |
Более достоверные данные о выпучивании пластинок и оболочек при ползучести получают при использовании критерия начальных несовер шенств. Ниже приведены сведения по применению этого критерия.
Рассмотрим задачу о выпучивании при ползучести прямоугольной пластинки, шарнирно опертой по краям и сжатой усилиями р (рис. 31). Будем исходить из условия свободного сближения ненагруженных краев пластинки. Принимают, что кромки пластинки остаются пря молинейными.
Обозначим через и) и до0 полный и начальный прогибы пластинки. Основные уравнения теории гибких пластинок для случая пластинки,
имеющей начальные прогибы до0 (*, у), |
принимают вид [1] |
|
||||||
|
|
О |
(цу - -Щ) = I (ОУ, Ф); |
|
|
|
||
|
|
— |
|
|
|
|||
|
|
г- \74Ф = • |
|
|
|
|
|
(74) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оператор Ь в применении к функциям |
до, Ф имеет вид |
|
|
|||||
, / |
/пч |
д2до д2Ф |
, д2до |
д2Ф |
0 д2до |
д2Ф |
|
|
Мю. |
|
|
|
+ |
|
1~ д х Ь у ' Ж д у л |
|
|
Примем |
для |
прогибов |
выражения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(75) |
и подставим выражения (75) в правую часть второго уравнени |
|
|||||||
схемы (74), определим функцию напряжений |
|
|
|
|||||
Напряжения |
в срединной |
поверхности |
|
|
(76) |
|||
|
|
|
||||||
|
(О, ^ |
^Ф _в |
я <0) _<?2Ф . |
<(п |
д5ф |
|
(77) |
|
|
°х |
ду2 » |
у |
дх2 ' |
|
дх ду |
* |
|
|
|
|
||||||
122 |
У с т о й ч и во ст ь п л а с т и н о к |
Максимальные по толщине пластинки изгибные напряжения опреде ляют по формулам Ц]
и ---- н 2 |
ЕЛ |
[ д2 (ш — Юо) |
1 V |
д2 (и; — «•) |
1 . |
|
|
(1 - |
V») 1 |
д*2 |
|
ду2 |
]* |
|
|
ау. и — + 2 |
ЕЛ |
д2 (ш — и>о). _4_ V |
а2 (ш — и/0) |
] |
(78) |
||
(1 - |
V3) 1 |
Ф 2 |
■ I V |
дх2 |
|
|
|
X — |
ЕН |
д2\(и/ — щ ) |
|
|
|||
ТИ-- |
+ 2 (1 + |
V) • |
дхду |
* |
|
|
|
Знак минус относится к точкам пластинки, лежащим у нижней по*
верхности |
= |
знак плюс — к точкам у верхней |
поверхности |
^ 2 = ---- ^ |
(см. рис. 31). Полные напряжения для центра пластинки |
||
|
у = - т |
) |
|
= |
|
- 2 Г1 — V * ) ^ ( " ^ + ж ) — р: |
|
Оу. п — |
Е л2 |
|
(79) |
862 |
|
||
|
|
||
|
|
тп = 0 . |
|
Интенсивность |
напряжений в точках с координатами |
г = ± |
|
|
ст( = К 0! „ + Чу. „ - ох< поУ' „; |
|
|
соответствующая этому напряжению интенсивность деформаций будет
е/ = (Е — модуль упругости материала при соответствующей
температуре; считается, что напряжения лежат в пределах пропорцио нальности материала в течение всего процесса деформации пластинки).
Введем безразмерные параметры
Считая сжимающие напряжения положительными, получим
• ____гс2 |
(у2 _ |
*2\ _ |
д2 (1 + У^2) |
_ |
‘ &>) + Р*1 |
|
012 V* |
»0/ + |
0/1 |
_ ^,2\ 12 'з |
|
||
8Ха |
|
2(1 — V3) X2 |
|
|
||
|
л 2Х2 |
|
_ |
Л2 (Ха + V) |
|
|
|
8 |
(6*-Й) + |
2 ( 1 — V2) |
(5 - С о ); |
||
«; - |
(«;)’ + ( |
4 т |
- т ? - |
« > ; • |
||
(82)
(83)
(84)
|
Устойчивость пластинок при высоких температурах |
123 |
Найдем зависимость между сжимающим усилием р* и полным |
про |
|
гибом |
Подставляя выражения (75) и (76) в первое из уравнений |
си |
стемы (74) и пользуясь методом Бубнова—Галеркнна, получим зави симость [1]
Р = [ркР+ |
4 •± г г - (?+ к °)] ^ |
’ |
(85) |
где параметр критического сжимающего напряжения |
|
|
|
Ркр = |
12(1 — V2) ( Х + х ) |
|
(86) |
Если задано усилие р*, то из выражения (85) можно определить стрелу полного прогиба С и далее интенсивность деформаций в любой точке пластинки. Ограничимся определением этой величины для точек
. А |
а |
Ь |
2 = ± — |
"Ри х = ~ 2 ' |
У = ~Т- |
Исследуя процесс ползучести при сложном напряженном состоянии, воспользуемся соотношениями теории упруго-пластических деформаций. Интенсивность деформаций ползучести определим в виде
ч — у = У Ч + |
<87> |
Пользуясь теорией старения, примем следующую зависимость ин тенсивности деформаций Е; при установившейся ползучести от интен
сивности напряжений сг* и времени / |
|
ё. = Ао”1(, |
(88) |
где величины А к т зависят от свойств материала.
Воспользуемся следующими соотношениями для составляющих деформации ползучести:
и примем следующие обозначения:
|
Е^Ь2 |
1 |
|
|
л ' - А Е т ( — \ |
- ___ Г - . М |
ъи ~ Ы - ’ |
||||
' ~ |
Нг ' |
* ~ Л2 ’ |
\ Ь ) |
||
|
|
|
|
|
(90) |
Тогда зависимости (88) и (89) запишутся в виде |
|||||
|
|
1 \= А ' (а])т |
|
(91) |
|
|
|
- щ ) |
|
Ъ ( а и ~ ^ Г - ) |
|
|
|
|
|
|
(92) |
Рассмотрим промежуток времени Ы, считая от начала процесса пол зучести. Определив интенсивность напряжений в точках г = ±
124 У с т о й ч и во ст ь п л а с т и н о к
для центра пластинки, по формуле (91) находим интенсивность дефор маций ползучести и далее из выражений (92) — составляющие этой
деформации. Затем определим дополнительный прогиб До;, вызванный
ползучестью. |
Для точки |
г = |
|
имеем |
|
|
|
|
|
|
\ |
|
А |
д2Да> |
(93) |
|
|
' |
“ |
|
2 ' |
дх2 ' |
|
|
|
|
|
||||
Примем |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
. |
лх |
. |
пу |
М |
|
|
|
Доу = |
(94) |
|||||
|
Д/ 51П |
31П — |
Д^ = — |
||||
Тогда для |
центра |
пластинки |
будет |
|
|
||
(«;.») л .= 4 ^
2
« и) _ ±о = - 4 д е-
Для величины Д$ получаем выражение
Деформации в срединной поверхности будут при вычитании исклю чаться, поэтому в выражении (96) можно перейти к полным деформа циям, тогда получим
Полная |
стрела |
прогиба |
равна |
сумме начальной стрелы прогиба |
|||||
и ее приращения: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
*ю— Со + |
АС- |
|
|
(98) |
|
Величина Е0 будет начальной стрелой прогиба для следующего |
|||||||||
промежутка |
Д/. Используя |
приведенную выше схему расчета для не |
|||||||
скольких интервалов времени Д^, получим зависимость |
(*). |
данных} |
|||||||
Пример. Рассчитать дуралюмииовую |
панель |
при следующих |
|||||||
Ь = 1: |
= |
60; 50 = |
0,1; р* — 0,8ркр = 2,88. |
Величины, входящие в фор |
|||||
мулу (88). примем для данного материала при I — 300° равными |
А = |
9*Ю~12; |
|||||||
т = 3; С} о формуле (88) выражается |
в дая/см9; |
I — в ч. Модуль упругости |
|||||||
дуралюмнна |
Е = 4-10* дан/см*. |
|
|
|
|
|
|||
По формуле (90) |
имеем |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
А* = 0,0445- |
|
|
|
||
Соотношение (85) |
получает вид |
|
|
|
|
|
|||
Р* = 3,6 |
^ + 1.23 (А2 - 1) Сд, |
(99) |