130 |
|
|
Устойчиоость оболочек |
|
|
|
|
|
|||||
Выражения для деформаций удлинения в срединной поверхности |
ех, |
||||||||||||
ъу н деформации сдвига у имеют вид |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ди |
|
|
до |
|
ыу |
|
|
ди |
, |
до |
/ЛЛ |
|
= |
|
|
е" = - ^ - Т Г : |
|
у = ~ъ |
|
+ -дх7 * - |
<2) |
|||||
Изменения кривизн х*. ку и кручение %определяют по формулам |
|||||||||||||
|
д2ш |
|
|
|
д2и) |
|
X = |
|
|
д2ш |
(3) |
||
Хх — ---- дх2 |
Н у = |
|
ду2 |
|
|
дхду |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Уравнение совместности деформаций запишется в виде |
|
||||||||||||
|
дЧх |
, |
д2ъу |
д2у |
|
1 |
|
д2ьи |
|
(4) |
|||
|
а</2 |
+ |
дх* |
дхду |
|
Я |
* |
дх2 ‘ |
|||||
|
|
|
|||||||||||
Тогда уравнения равновесия в проекциях |
на |
|
ось |
х, касательную |
|||||||||
к линии у и на нормаль запишутся следующим образом: |
|
||||||||||||
|
- ^ + |
4 |
1 = |
0; |
4 1 |
+ |
- ^ |
= |
0 |
; |
|
(б) |
|
|
|
дх |
ду |
|
дх |
|
ду |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
+ |
д0у_ |
_ ! щ , |
|
0 |
|
|
(б) |
|||
|
|
дх + |
ду |
+ |
К |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где <7 — интенсивность |
поперечной |
нагрузки. |
|
|
|
|
|
||||||
Уравнения моментов получают форму |
|
|
|
|
|
|
|||||||
дМх |
дН |
|
Л |
дН |
, |
дМу |
|
|
|
|
|||
-аг+_3&"“0'“* -дГ+-дГ |
"0 у = 0 . |
(7) |
|||||||||||
Соотношения между деформациями и напряжениями в срединной |
|||||||||||||
поверхности |
|
|
|
Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а* |
|
|
(е* + |
Vе^/); |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Оу~- |
г— |
г |
(еу + |
чел); |
|
|
|
|
(8) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е
= 2 (1 Ч- V ) 'У '
Зависимости между моментами и изменениями кривизн имеют тот же вид, что и для плоской пластинки:
д2т И = — О (1 — V) 'дхду ’
У ст ой чи вост ь оболочек в п р е д е л а х у п р у го с т и |
131 |
где
О =
ЕН*
12(1 ^ 2)*
Из уравнений (7) определяют поперечные силы (?* и <3У:
(Ю )
здесь у 2 — оператор Лапласа,
|
|
|
|
„ |
а3 . |
|
а* |
|
|
(И) |
|
|
|
у-== |
|
|
|
|
|
||
Подстановка выражений (10) в уравнение равновесия (б) |
приводит |
|||||||||
к следующей |
зависимости: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
а |
а |
о» |
. |
^ |
|
( 12) |
|
|
|
|
- г * ш= т г + т - ’ |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
где у 4 — двойной оператор |
Лапласа, |
|
|
|
а4 |
|
||||
|
У4 = 7 2Уа = |
- | г + 2 |
|
а4 |
(13) |
|||||
|
|
дх*ду* + |
ду* • |
|||||||
Исходя из соотношений (8), выразим деформации через напряжен |
||||||||||
|
|
|
= ~]7 (ст.г — \Оу)] |
|
|
|||||
|
|
&у = - ^ { а у — \ох)\ |
|
(14) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У = 2т (1 + |
|
у) |
|
|
|
||
ций (4), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_1_ Г &а* |
2 а ч |
. + |
|
V |
( |
дх* |
|
|
||
Е 1 ду* |
дхду |
^ |
дх2 |
|
\ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
а2м> |
|
|
(15) |
|
|
|
|
|
|
/? ' дх2 * |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если ввести функцию напряжений в |
срединной поверхности Ф |
|||||||||
по формулам |
а2Ф |
|
|
а*Ф |
|
|
а2Ф |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
° * = - 3 7 г ; |
аи = ~ № ’ х = ~~я7д77> |
(16> |
ду* |
дхду • |
|
132 |
Устойчивость оболочек |
|
||
то зависимости (12) и (15) можно представить в виде |
|
|||
|
|
д*Ф |
я |
07) |
Н |
|
дх2 + Л ; |
||
|
у4Ф = |
1 |
д2ьи |
(18) |
|
|
|
||
При решении задач устойчивости в уравнение (17) нужно подставить
вместо ц фиктивную поперечную нагрузку <Д равную сумме дополни тельных проекций основных усилий рх»/?«/, 5 на направление нормали (усилие рх действует вдоль оси х, усилие ру — вдоль касательной к ли нии (/, усилия 5 — касательные):
Положительными считают усилия, способствующие увеличению параметров кривизны; в отношении рх и ру положительными считают усилия сжатия. Подставляя выражение (19) в формулу (17), получим
О . |
|
1 |
д2Ф |
|
даш |
|
|
д2& |
п д2и> |
( |
20) |
||
А |
^ 10 |
~ |
7? |
дх2 |
|
^х дх2 |
|
|
ду1 |
8 дхду |
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
Применим к |
уравнению |
(20) оператор |
|
V 4, а |
к уравнению (18) — |
||||||||
оператор |
|
|
тогда выражения (20) и (18) приводятся к одному |
||||||||||
разрешающему |
уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
й |
_в |
, |
Е |
д*м |
, |
_ _4 / |
) |
\ |
+ |
|
4 / а-ш \ |
|
|
А - у '» |
+ |
|
" з р - + |
Ч ^ |
) |
РЛ *[: щ Г ) + |
|
|
|||||
|
\ - ш |
|
+ |
РЛ* |
|
|
|||||||
+МЙ-)-«: 0. (21)
Приведем другой вариант уравнений линейной теории оболочек, относящийся к случаю слабо выраженного волнообразования по длине оболочки. В этом варианте срединную поверхность принимают не растяжимой в дуговом направлении (еу = 0); считают, что сдвиги в сре динной поверхности отсутствуют (у = 0). Поперечные силы и изгиба ющие моменты в осевом направлении, а также крутящие моменты пола
гают |
Мх = Н = |
0; учитывают |
только усилия |
0 у и |
Му. При |
|||||
таких |
условиях справедливы |
следующие |
соотношения: |
|
||||||
_ |
ди |
____/ д2ад |
|
щ \ |
|
д о ___ _ |
ди_ ___ до |
|||
х ~ |
дх 1 |
ху— |
\ ду2 ‘ |
Я2 / |
1 |
ду ~~ К ' |
ду |
дх |
||
Отсюда |
|
д2ел |
____ 1_ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ду2 |
~ |
|
У? |
дх2 |
’ |
|
|
Уравнение |
совместности |
деформаций получает вид |
|
|
||||||
|
|
о |
д*ех |
|
1 |
дЧх |
_ |
д2ку |
|
(22) |
|
|
к |
ду* |
|
/? ' |
ду2 |
~ |
дх2 " |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
устойчивость оболочек $ пределах упругости |
133 |
Приходящуюся на единицу площади внешнюю нагрузку вдо#ь оси х, касательной к линии у и оси г, обозначим через Яу> Яг. Тогда урав нения равновесия запишутся
д а , |
д т |
|
|
1 |
|
д т |
, дОу_____1 |
дМу . |
Яу |
0 . |
||||
-д Г + ~д? + — |
^ |
= 0- |
|
дх |
|
ду |
|
|
ду |
К |
' |
|||
|
|
|
|
дЧ1и |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
ду2 |
+ х |
0*+?*=а |
|
|
|
||||
Объединяя их, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
Ш и |
, |
*<*, |
„ |
|
(23) |
||
|
* |
ду4 |
+ |
Я |
* д</2 |
+ |
|
дх* |
~ ' |
|
||||
где |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
_ |
|
|
, |
|
|
|
, А * |
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
дЯх |
|
|
|
|
|
(24) |
|||
|
|
|
^ |
" |
" д Г + |
д*, |
* |
ду* |
• |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||||
Соотношения |
закона |
Гука |
имеют |
вид |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Е |
|
|
|
|
|
|
|
Я/13 |
|
|
||
|
Ох = 1 — Vт с, & Еех |
М ;,= - |
12(1— V2) |
|
(25) |
|||||||||
тч |
|
|
|
|
|
Х |
О |
|
У |
|
|
|
|
|
Вводя |
переменные а = — |
, р = |
- - и пользуясь оператором |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
д4 |
, |
д2 |
|
|
|
|
(26) |
|
|
|
|
|
й |
= - ар4 |
+ |
ар3 |
’ |
|
|
|||
уравнения (22) |
и (23) приводим к виду |
|
|
|
|
|
||||||||
й<т, |
12/? |
|
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|
(27) |
||
Л3 |
* |
да2 |
" |
’ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
дЦх . |
д<7у |
дгдг |
|
|
(28) |
|||
|
|
|
|
|
|
да + |
ар |
ар2 * |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Исключая ах и используя выражение (25) для Му, получаем, после
исключения оператора + 1 )• следующее дифференциальное урав
нение для решения задач устойчивости:
(29)
Уравнением (29) следует пользоваться при исследовании устойчи вости оболочек средней и особенно большой длины в случае слабо вы раженного волнообразования по длине оболочки.
Линейная теория дает возможность исследовать устойчивость обо лочки в малом. Полное решение задачи, включающее исследование потери устойчивости оболочки в большом, может быть дано с позиций нелинейной теории. Приведем соотношения, относящиеся к оболочке большого прогиба. Будем исходить из того варианта теории, в котором оболочка считается пологой, по крайней мере, в пределах отдельной вмятины.