Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Дополняя соотношения (2) нелинейными членами, получим сле­ дующие выражения для деформаций в срединной поверхности:

Изменения кривизн и кручение срединной поверхности определяют по формулам (3).

Соотношения Гука (8) остаются прежними. Первые два уравнения равновесия отвечают соотношениям (5), третье уравнение равновесия

Для поперечных сил справедливы соотношения (10). Подставим эти выражения в уравнение (33), а соотношения (14) — в уравнение (31),

Оператор 1 в применении к функциям ао, Ф:

При интегрировании приведенных выше линейных или нелинейных уравнении необходимо удовлетворить граничным условиям. Для тор­ цовых сечений замкнутой оболочки эти условия формулируются так: при шарнирном опирании оболочки по краям х = 0, х = /, (направле­ ние координатных осей соответствует рис. 3) для точек краев должно выполняться условие

при защемлении оболочки по краям

ш = 0, ^дх= 0.

Приведем условия, касающиеся перемещений и, о, а также усилий в срединной поверхности. Если точки краев свободно смещаются вдоль образующей и по дуге, то в этих точках должно быть

ох = 0; т = 0.

В случае несмещающнхся кромок следует положить и = 0; о = 0.

Замкнутые круговые оболочки

Сжатие замкнутой оболочки вдоль образующей. Рассмотрим замкну­ тую круговую цилиндрическую оболочку длиной I , шарнирно опертую * по торцам, подвергающуюся сжатию вдоль образующей усилиями р, равномерно распределенными вдоль дуговых кромок (рис. 4).

Об о з н а ч е н и я : К — радиус срединной поверхности оболочки;

к— толщина оболочки. Исследуя устойчивость оболочки в малом, определяем верхнее критическое напряжение; при этом исходным

• Обозначения на схемах закрепления краев см. рнс. 2, гл. 2.

является дифференциальное уравнение (21) Для рассматриваемого случая оно принимает вид

Приведем первый вариант решения, в котором предполагаем, что поверхность оболочки после выпучивания является осесимметричной, т. е. что поперечные сечения остаются круговыми. В этом случае про­ гиб ш будет зависеть только от х\ уравнение (40) переходит в следующее:

а1.Х

при этом считаем т > 1. Получаем следующее выражение для

Подстановка выражения (42а) в формулу (42) приводит к следующему значению верхнего критического напряжения рв:

муле (42) принять т = 1 и пренебречь вторым членом. Тогда

лЮ

Приведенным решением не устанавливается однозначно форма волнообразования оболочки; вытекает лишь следующее условие, которому должны удовлетворять величины т| и д :

(53)

В случае выпучивания оболочки с образованием квадратных волн (д = 1) получаем г\ = 0,825; тогда

(54)

Верхнее критическое напряжение рв, определяемое в соответствии с формулой (52), в точности совпадает с формулой (43). Следовательно, потеря устойчивости оболочки в малом с образованием вмятин, распо­ ложенных в шахматном порядке, происходит при том же напряжении, что и в случае осесимметричного выпучивания.

Все приведенные выше формулы относятся к случаю п ^ 4. Прак­ тически это соответствует выпучиванию оболочки средней длины. Границы применимости теории оболочек средней длины в случае сжатия определяют, исходя из следующего условия, уточненного по сравнению с выражением (1):

(55)

Выражением (55) определяется область значений I для которых

можно считать справедливой формулу (43).

При получении расчетных формул для этого случая используют урав­ нение (29). В выражении (28) следует положить

Принимая

где

из уравнения (29) получим [1]