140 |
Устойчивость оболочек. |
тем или иным числам воли. Из сопоставления различных вариантов
диаграммы находят наименьшую величину р — нижнее критическое
значение рн. Подобно тому, как реальные оболочки резко реагируют на малые возмущения, что приводит к большому разбросу эксперимен тальных значений критических напряжений (см. ниже), результаты ре шения по методу Ритца сильно меняются при незначительном изменении принимаемого выражения для прогиба. Данные различных решений
по методу Ритца приводят к значениям параметра рн, лежащим в пре делах 0,182—0,334; позднее получены более низкие значения, доходя
|
|
щие до 0,0427. |
|
|
|
|
|||
|
|
Во всех решениях по методу |
|||||||
|
|
Ритца нижнее |
критическое |
напря |
|||||
|
|
жение |
не |
зависит |
от |
отношения |
|||
|
|
4 с . |
А. Алексеев, |
пользуясь |
|||||
|
|
методом |
последовательных |
прибли |
|||||
|
|
жений, |
пришел к выводу, что вели- |
||||||
|
|
чина рн падает с возрастанием |
/? . |
||||||
|
|
Обратимся к экспериментальным |
|||||||
|
|
данным |
[1 ]. |
Область |
эксперимен |
||||
|
|
тальных значений ркр показана на |
|||||||
рис. 5. Величина рв = 0,605 |
действительно |
является верхней |
грани |
||||||
цей для реальных критических напряжений. Большая |
часть |
опытов |
|||||||
приводит к значениям |
ркр, лежащим выше 0,18. |
Некоторые экспери |
|||||||
ментальные значения |
лежат |
ниже этой величины; иногда снижение |
|||||||
Л |
|
|
|
также явную тенденцию |
|||||
Ркр достигает 0,06—0,15. Рис. 5 показывает |
|||||||||
к падению ркр с увеличением |
, что вытекает |
из решения С. А. |
|||||||
Алексеева. С увеличением |
вероятность появления начальных про |
||||||||
гибов должна повышаться, а это приводит |
к снижению |
средней |
вели |
||||||
чины реальных критических напряжений. Это подтверждается также результатами статистической обработки экспериментальных данных. Если, например, определять нижнюю границу критических напряже ний, исходя из условия, чтобы вероятность попадания эксперимен тальной точки в вышележащую область составляла 90 или 99%,
получаются значения р, |
приведенные в табл. 1. |
Из таблицы |
следует, |
|||||
что с увеличением |
значение р |
резко падает. |
|
|
|
|||
I. Значения р при осевом сжатии замкнутой |
цилиндрической оболочки |
|||||||
Вероятность попа |
|
|
|
|
Я |
|
|
|
дания эксперимен |
|
|
|
|
|
|
|
|
тальной точки |
|
|
|
|
А |
|
|
|
в вышележащую |
250 |
| |
500 |
750 |
1000 |
1500 |
2000 |
2500 |
область в % |
||||||||
90 |
0,18 |
1 |
0,16 |
0,14 |
0,13 |
0,11 |
1 0,09 |
0,08 |
99 |
0,14 |
| |
0,12 |
0,10 |
0,08 |
0,07 |
| 0,065 |
0,06 |
Устойчивость оболочек в пределах упругости |
141 |
Сопоставление данных статистической теории устойчивости оболочек с результатами многочисленных экспериментов приводит к следующим
значениям Ррасч при осевом сжатии (в пределах упругости) |
тщательно |
||||
изготовленных замкнутых |
цилиндрических |
оболочек: |
|
|
|
|
До 250 |
600 |
750 |
1000 |
1500 |
'ррасч |
° . 18 |
° . 14 |
° . 12 |
° . 10 |
° .°9 |
В случае, когда оболочки изготовлены недостаточно тщательно и начальные прогибы достигают величины порядка толщины Н, расчет
ные значения р следует |
снижать при |
|
||||
мерно вдвое. |
Начальные |
прогибы, за |
|
|||
метно превышающие толщину |
оболоч |
|
||||
ки, вообще недопустимы, так как жест- |
|
|||||
к'ость конструкции при этом резко |
|
|||||
снижается. |
оболочка |
при |
внешнем |
|
||
Замкнутая |
|
|||||
давлении. Рассмотрим случай круговой |
|
|||||
оболочки, |
шарнирно опертой |
по тор |
|
|||
цам и подвергающейся действию рав |
|
|||||
номерно |
распределенного по |
боковой |
Рис. 6 |
|||
поверхности внешнего давления интен |
||||||
|
||||||
сивностью |
(рис. 6). Действие попе |
|
||||
речного давления ц эквивалентно действию радиальных сжимающих напряжений ру = - ^ ~ . Задача об устойчивости в линейной поста новке сводится к интегрированию уравнения
--
Это уравнение получается из зависимости (21), если в иен учесть лишь усилия ру. Представляя прогиб ш в виде формулы (47), из урав нения (62) получим следующее выражение:
тгп2 ~ ц ~
Отсюда находим [1]
( 3 шая а
« - а д
и _ Д 1\4 . |
в |
1> |
|
|
||
|
Я2 / |
|
|
|
|
|
тгя а , |
п2 |
п? |
_ |
Л |
(63) |
|
-Ц Т - + |
/р ; |
дз |
“ |
и‘ |
||
п |
\2 |
Ек |
|
|
1 |
(64) |
В? |
) |
|
|
|
пЧ* |
|
|
|
|
|
|||
Я*ж*и*')
где т — число полуволн по образующей оболочки; п — число полных волн по окружности. Как видим, при определении критического давле ния надо принять т = 1; это подтверждается и экспериментами. В связи с этим влияние граничных условий в задачах об устойчивости
142 Устойчивость оболочек
оболочки при внешнем давлении является более заметным, чем в случае
сжатия. Будем пользоваться безразмерным |
|
параметром нагрузки |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(65) |
Выражение (64) приведем к виду |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Л |
|
л2 |
|
Л |
, |
я 2/?2 \ 2 |
, |
|
||
я ~ |
К ’ |
1 2 (1 - ^ |
а) |
Г |
"г |
|
л27.2 ) |
“г |
|
||
|
, |
|
я 4/?* |
|
|
1 |
|
|
|
|
(66) |
|
|
|
14/т« |
|
|
я»** |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если можно принять |
|
1+ ли3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
■г |
|
|
||||
|
|
|
|
У |
€ |
1. |
|
|
|
|
(67) |
будет |
|
|
1 |
|
|
|
|
я«К‘ |
|
|
|
|
|
|
|
п Ч |
|
|
|
(68) |
|||
|
Я= *12(1— V8) |
|
Я |
1 и н п * |
' |
||||||
|
|
|
|||||||||
Из условия минимизации выражения (68) по л получим |
|
||||||||||
л = у 'б л 2 Г 1 - |
V* |
|
|
4/ |
|
(69) |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
или при V = 0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(70) |
Подставив выражение (69) в формулу (68), находим верхнее крити |
|||||||||||
ческое значение |
для |
случая, когда выполняется |
условие |
(67): |
|||||||
|
|
|
V I |
|
яЦ / |
Л |
\0.5 |
(71) |
|||
Ч* = |
-9(1 — V2)0,75 |
|
I |
\ |
К |
} |
' |
||||
|
|
||||||||||
ИЛИ при V = 0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ ' = ° - 9 2 т - у Т - |
|
|
(72) |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Если условие |
(67) |
не выполняется, |
то |
для |
определения |
надо, |
|||||
исходя из полного выражения (66), найти значение п, отвечающее ми
нимуму |
<7. |
Значения |
найденные для большого диапазона отноше* |
ний — |
и |
——, показаны |
на рис 7 |
Приведенные выше данные справедливы для оболочек средней длины
при условии — 1; будем считать, что это условие выполняется при
л ^ 4. При решении задачи применительно к случаям я = 2, п = 3 нужно исходить из более общих уравнений линейной теории, приведен*
|
|
|
Устойчивость в пределах упругости |
|
143 |
||||||
ных в книге |
[1 ]; там же дано соответствующее решение. Для верхней |
||||||||||
критической |
нагрузки |
получается выражение |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
!(|г + Тр-)’ + |
|
|
||||
|
|
|
+ тН|- 2(''-!1г1+",)]}+ |
|
|||||||
|
|
|
Ек |
я* |
|
|
|
|
|
(73) |
|
|
|
+ |
К |
' V ' |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для весьма длинной оболочки, когда / ,> / ? , |
выражение (73) пере |
||||||||||
ходит в следующее: |
|
(л2 — 1) 1) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(74) |
|||
|
|
|
|
|
Ч в = -— т^г2— - |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
/?3 |
|
|
|
|
|
Минимальное |
значение <7 получается |
при |
п = |
2: |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
9с- |
Зй |
|
|
|
|
(75) |
|
|
|
|
|
Д3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражение (74) можно получить также, исходя из уравнения (29) |
|||||||||||
полубезмоментной теории. Для этого следует |
в |
выражении |
(28) |
||||||||
принять |
= |
|
= |
0; |
цг = —?Д |
+ |
|
|
в |
Уравнение |
(29) |
подставляют |
прогиб |
ш, — |
- з т |
Тогда выражение для д |
|||||||
принимает вид |
|
|
1>л4(л2—I)2+ |
ЕПЯ2г4 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
(76) |
||||
|
|
|
|
|
/?*л4(я* — !) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т ~ * |
|
|
|
|
при г -> 0 |
приходим к выражению |
|||||
Для весьма длинной оболочки |
|||||||||||
|
|
|
|
|
Я (л2— 1) |
|
|
|
|
(77) |
|
|
|
|
|
|
|
Я3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагая |
в формуле |
(76) л2 > |
1, приходим |
к |
выражению (68) для |
||||||
оболочек средней длины. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Испытания оболочек на устойчивость при внешнем давлении показы вают, что в этом случае выпучивание оболочек происходит в виде резко выраженного хлопка с образованием глубоких вмятин, обращен ных к центру кривизны; при этом каждая выпучина распространяется на всю длину оболочки. Поэтому и здесь надо обратиться к решению нелинейной задачи об устойчивости оболочки в большом. Решение не линейной задачи по методу Ритца в первом и во втором приближениях рассмотрены в книге [1]. Окончательные значения критического давле-
ьр
ния <7* для различных отношений -3 - и — даны на рис. 8. Для фикси- |
||||
|
О |
г\ |
Л |
|
рованного отношения |
соотношение |
между нижним и верхним |
||
|
||||