Глава 5
СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ (ТОЧНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ)
Общие сведения
Ниже рассмотрены задачи о колебаниях стержней, представляющих собой систему с непрерывно распределенной массой. Такая система с распределенными параметрами имеет бесконечное число степеней свободы и, соответственно, обладает бесконечно большим числом соб ственных частот и собственных форм колебаний.
Собственная форма колебаний Х& (х) представляет собой функцию координаты х сечения стержня, описывающую конфигурацию системы при ее моногармоническнх колебаниях с собственной частотой рь. Такие колебания называют главными, они происходят по закону
|
Чк (х,1 )= Х к (х)Тк (1), |
(1) |
|
где |
Тк (I) = Ак 51П (рк1 + ф,) |
(2) |
|
|
|||
есть функция |
времени, содержащая постоянные Аь и ф&, |
связанные |
|
с начальными |
условиями. При этом |
(х, I) имеет смысл |
характер |
ного перемещения сечения: продольного перемещения иь (х, 0 в задачах
о |
продольных колебаниях, углового перемещения фд (х, 1) |
в |
задачах |
о |
крутильных колебаниях или поперечного перемещения о& |
(х, |
0 в за |
дачах об изгибных колебаниях. Колебания типа (1) возникают при специальном задании начальных условий (см. ниже); при произвольно заданных начальных условиях колебательный процесс представляет собой сумму главных колебаний
Ч(х, 1) = ^ Х к(х)Тк ((). |
(3) |
к= 1 |
|
Собственные частоты образуют бесконечный спектр |
р2, . . |
цифры, стоящие в индексах, располагают так, чтобы выполнялись неравенства
Р\ < Ра < Рй < ----- |
(4) |
236Свэбодные и вынужденные колебания стерокней
Взадачах о продольных или поперечных колебаниях собственные
формы удовлетворяют условиям ортогональности I
| т (х) X; (х) Хь (') дх = 0 при I ф к\ |
(5) |
о |
|
здесь т (.х) — интенсивность распределенной массы стержня. Если кроме распределенной массы со стержнем связаны сосредоточенные массы т5, расположенные в сечениях с абсциссами х$, то условия ортогональности имеют вид
I |
|
|
| т (х) Х( (х) Хк (х) йх + |
2 ] т**1 (х5) Хк (х5) = 0. |
(6) |
0 |
5 |
|
В задачах о крутильных колебаниях условия ортогональности при нимают форму
I
]/(х )Л ,(* )Х * (х )Л с = 0 , |
(7) |
0 |
|
где-/ (х) — полярный момент инерции единицы длины стержня отно сительно его оси.
При наличии сосредоточенных по длине стержня дисков с полярными
моментами инерции / 5, расположенными в сечениях с абсциссами |
х5, |
|
условия ортогональности имеют вид |
|
|
I |
|
|
| / (*) X,. <*) X* (*) йх + |
2 / Л (*«) *к (лг5) = 0. |
(8) |
0 |
6 |
|
Масштаб собственных форм колебаний может быть принят произ вольно. Удобно выбрать этот масштаб так, чтобы выполнялись условия нормирования
I
| т (х) Х\ (х) дх + |
^ |
т5Х\ (х5) = |
1 |
(9) |
и |
5 |
|
|
|
(в задачах о продольных или поперечных колебаниях); |
|
|||
/ |
|
|
|
|
|/( * ) Х * ( * ) Л * + |
2 |
7.Х ?(*,) = |
1 |
(10) |
0 |
5 |
|
|
|
(в задачах о крутильных колебаниях).
Узлами к-й собственной формы называют неподвижные сечения * стержня, совершающего /г-е главное колебание с частотой рк. Число узлов к-й собственной формы равно к — 1; узлы двух смежных собствен ных форм перемежаются.
* Кроме сечений, неподвижность которых обеспечивается наложена связями.
Свободные колебания (точные исследования) |
287 |
Продольные и крутильные колебания стержней; поперечные колебания струн
Основные соотношения при продольных и крутильных колебаниях стержней, а также для поперечных колебанй струн приведены
втабл. 1 (сечение постоянное, масса распределена равномерно).
Об о з н а ч е н и я : Р, Уп— площадь и полярный момент инерции поперечного сечения; р, Я, О — плотность и модули упругости мате
риала стержня; и = и {х, /); V = V (х , /), <р = ср (х, () — продольное и поперечное перемещения и угол поворота текущего поперечного се чения х в текущий момент времени /; /л*, У* — масса н момент инерции груза, соединенного с концом стержня; с — жесткость упругой связи, находящейся на конце стержня.
Для определения спектра собственных частот нужно записать гра ничные условия в развернутой форме; при этом образуется однородная система двух уравнений относительно постоянных Сь и Як- Далее фор мулируют условие существования ненулевых решений для Си и йь. Таким образом, получается уравнение частот; корни этого трансцендент
ного уравнения и являются искомыми |
частотами. После этого |
обра |
|
зуются собственные формы колебаний. |
|
|
|
Пример I. Определить собственные частоты и формы продольных колеба |
|||
ния консольного стержня (левый конец х = |
0 закреплен, правый конец х = |
||
= / — свободный). |
|
|
|
Граничное условие на левом конце: |
0. |
|
|
Х'(0) = |
Эк = |
|
|
Граничное условие на правом конце |
|
|
|
Х ‘ <0>= с* 4 г “ »-^Г- |
|
||
Частотное уравнение |
|
|
|
Р{Л |
|
|
|
С 0 5 — — = 0 . |
|
||
Его корни |
а |
|
|
Л(2к — \)а |
|
||
Рк=- |
21 |
|
|
Собственная форма колебаний |
|
|
|
Х к (х) = Ск б1п Я (2 к — 1) х |
|
||
|
|
21 |
|
Результаты для различных комбинаций граничных условий |
даны |
||
в табл. 2 (данные относятся как к продольным, так и к крутильным
колебаниям).
В задачах о колебаниях стержней со ступенчатым изменением попе речного сечения, а также в случаях, когда со стержнем связаны сосре доточенные массы или сосредоточенные упругие связи, удобно поль зоваться методом начальных параметров и нормировать не собствен
ную форму колебаний Х&, а функцию времени |
Тк: |
Г* = 81п (р * '+•?*)• |
(,1) |
При этом собственная форма приобретает смысл кривой амплитуд колебаний, постоянные Си и Ьк выражают через начальные параметры и собственную форму записывают в виде
“ м - - д а “ " 1 Г (продольные колебания);