Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

290Свободные и вынужденные колебания стержней

2.Собственные частоты и формы продольных и крутильных колебаний

для некоторых граничных условий

Схема стержня		Собственные частоты						Собственные формы
Схема стержня		Собственные частоты						колебаний
1		рк ~			я (2к — 1)				Хк <ЛГ>=
1-------------------		рк ~				21		- с к * «
1-------------------								- с к * «
2		Частотное уравнение •
1------------------- •		Р1	{		р1	=	РР1	х к 1х)	= с к 5,п
1------------------- •		а	*		а
3						кпа		х к (х>= Сл5Щ -*^
						кпа
I------------------- I			Р* = —
I------------------- I			Р* = —
ч		Частотное уравнение							Рь»
1---------------		,В - Ё - - Е 1 - ____ ё ! .						Хк М = С к зШ - г -
1---------------		*	а	'	а		Л
*	Значения низшего корня частотного уравнения даны в табл. 3.
	3. Значения низшего корня						частотного уравнения
		для	схемы			2	табл.	2
рР1	Р1*	рР1					Р11	РР1	р!1
ш.	а	т.					а	т,	а
со	1,57	3					1,20	0,50	0,65
100	1,56	2					1,08	0,30	0,52
20	1,62	1,5					0,98	0,20	0,42
10	1,42	1,00					0,86	0,10	0,32
5	1,32	0,90					0,82	0,05	0,21
4	1,27	0,70					0,75	0,01	0,10

Свободные колебания			(точные исследования)		291
	М0а		рх , —	рх	(13)
Ф(*) =	р^^р	8111 -------^ ф0 С08——
			а.	а

(крутильные колебания).

В выражеииях_(12) и (13) иа и ф0 — начальные смещения (линейное

и угловое); №<> и М0 — начальные усилия (продольное усилие н крутя щий момент); все эти величины относятся к сечению х = 0 в момент времени, когда Т (() = 1. Выражениям (12) и (13) соответствуют выра жения для внутренних усилий в текущем сечении

Л/(л) = Л?0соз —	"яЕРР. 51П №.		(14,
а	а	а	' '
(продольные колебания) и
М (х) = М0 соз — —		* . л * .	(15)
а

(крутильные колебания).

Поясним дальнейшие выкладки на примере продольных коле баний.

С помощью выражении (12) и (13) образуются последовательные

соотношения для конца		первого участка длиной
		М0а		р1\	,	-	рк>
	и‘ = ^ Ж 1		$ ,а —		+	а1>са!1 Г-
								(16)
							а	*
здесь	— площадь сечения на первом участке; затем для конца вто
рого	участка
	-	N1 а		ри	,	-	ри
	иг =	^	5 \|П - г		+	“1С 05 —		;
								(17)
и т. д. до конца стержня.			_	_

Таким способом величины ип и Мп для концевого сечения выражают через начальные параметры. В этих соотношениях будут содержаться

величины «о, Ъп, N0 и из которых какие-либо две^равны нулю (в за

крепленном сечении и = 0, в свободном сечении N — 0); уравнение частот получают из условия, что остальные две из указанных величин не равны нулю.

292 Свободные и вынужденные колебания стержней

Пример 2. Определить собственные частоты колебаний стержня, пока занного на рис. 1.

Соотношения (16) дают

1	51п	Мг = N0 0 0 5 -^1 .
1	р е р х

Здесь учтено, что и0 = 0; второе выражение (16) должно быть равно нулю

л	(так как	= 0), т.		е.
	N О С05 ~ ~	С05		~~~ N а X
	X -^г~ 51п	а	$1П- ^ = 0.
	РI	а		а
-Ь— \	Частотное уравнение имеет вид
Рис. 1	ь а	ь а		р г •

Если на общей границе двух соседних участков расположена сосре доточенная масса ш5, то при переходе через этот участок продольная

сила N претерпевает разрыв, равный силе инерции, развиваемой мас сой т 8:

Л^+ = N_ + т5р2и;

(18)

здесь индексы минус и плюс соответствуют сечениям, расположенным непосредственно левее и правее границы.

Пример 3. Определить собст			ЕГ,	т5	РГ2
венные частоты стержня, пока
занного на рис. 2. Согласно		1—	с -------11 ^		/	.___ ^х
соотношениям (16) в конце пер
вого участка		1	■ •	1
рЕР!	а	1- —	1,— -1 1 —

				Рис.	2
в соответствии с формулой (18) в начале			второго участка
	“ * . С05 ■гг	+ т^>'		51п -7Г-
В конце второго участка ЛГ, =		0, т. е. по выражению (17);
[750со5 Л . + ш,р. ^			з.г 4	‘] соз

отсюда следует частотное уравнен

Свободные колебания (точные исследования)

293

Взадачах о крутильных колебаниях аналогично соотношениям

(16)и (17) получаем

	М0а		Рк_		Рк.
	рСЗр '		а		а	(19)
М х = М0 С05 —			— Фо		51П —	(19)
М х = М0 С05 —			— Фо	а	51П —
		а		а	а
—	М-уз.		р1п	—	р1п
^ =	Ш	7 5т ~ ^ +41005 а :				(20)
Мо —М1 соз —					$1п Ек	(20)
Мо —М1 соз —			— фх	а	$1п Ек
	1	а	^ 1	а	а

ит. д.

Всечениях, где имеется сосредоточенный диск, обладающий по

лярным моментом_инерцин / 5, следует учесть разрыв в значениях кру тящего момента М:

							(21)
(см. пояснение к выражению (18)].
Пример 4. Составит^уравнения частот для вала,						показанного на рнс. 3.
На левом конце Бала		М 0 = 0] поэтому по выражениям					(19)
	ф , = фо СОЕ	Р1 .					2^^ /■ /
	___ — РС*р з1п р1						2^^ /■ /
	___ — РС*р з1п р1
На	правом конце	Л*1+=0;				Рнс. 3
гласно	выражению (21)					Рнс. 3
		вт-%- +			соз	=	0.
Условие Фо чЬ 0 приводит к			частотному		уравнению
		.	Р1	р1
		1д — = х —

Значения наименьшего отличного от нуля корня этого уравнения сле дующие:

X . .	0	0,5	1,0	10	со
ЕЕ	3,14	4,26	4,50	4,69	4,71
а

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/74208

Смотрите также:



17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Анализ эффективности инвестиций предприятия на примере ООО «СпецПримСтрой»
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009