Свободные колебания (тонные исследования) |
299 |
Для составления уравнения частот нужно с помощью соотноше ний (25) и (28) выразить граничные условия задачи через функции Крылова, а затем записать условие существования ненулевых реше
ний для постоянных |
С[. |
|
|
|
|
|
|
Притер б. Составить уравнения частот для стержн |
на рис. 4. |
||||||
Граничные условия: |
X (0) = |
0; |
X' (0)=» 0; |
» |
|
||
|
(30) |
||||||
|
X (/) =: 0; |
X" (0) = 0. | |
|||||
|
|
||||||
Подставляя сюда выражения (25) и (28), получаем |
|
||||||
|
С, = 0; |
С5 = |
0; |
|
| |
|
|
|
С3(/ (а/) + |
С^У (а0 = |
0; |
> |
(31) |
||
|
С35 (а/) + |
САТ (а/) |
= |
0. |
' |
|
|
Условие ненулевых |
решений для |
постоянных |
С, и С«: |
|
|||
|
I и (а/); |
V Ш) I |
0. |
|
(32) |
||
|
I 5 (а/): |
Т (аI) \ = |
|
||||
Подставляя сюда выражения (26), получаем трансцендентное уравнение |
|||||||
частот |
|
|
(33) |
Я |
|
|
|
{2Сс/=ИмхЛ |
|
|
|
|
|||
корни которого |
|
|
|
Л |
|
|
|
(а/)1 =3,927; {0.1).2= 7,069; |
|
|
1 |
|
|
|
|
4 п +1 |
|
|
|
|
|
|
|
(*Ол = |
|
|
|
|
|
Рис. |
4 |
|
|
|
|
|
|
||
Уравнения частот и их корни для различных комбинаций закрепле ния концов стержня приведены в табл. 6, а выражения для собственных форм колебаний — в табл. 7.
Для облегчения последующего решения задач о вынужденных ко лебаниях иногда полезно умножить собственную функцию на некото рый нормирующий множитель, определяемый из условия нормирова ния (9).
Уравнения частот для балок со ступенчатым изменением сечения, с промежуточными опорами (в частности, упругими) и с дополнитель ными массами составляют на основе соотношений (25)—(29) с учетом условий сопряжения участков (табл. 8).
В табл. 9 приведены коэффициенты а/, с помощью которых по фор муле (27) определяют низшие собственные частоты изгибных колебаний стержней с упругими опорами и собственные частоты изгибных колеба ний стержней с дополнительными сосредоточенными массами.
Колебания неразрезных балок. Уравнения частот удобно составлять
в форме уравнения трех моментов: |
|
|
ТпЦп - 8 пУп |
||||
1 |
|
|
___! _ |
||||
Мп. 1 (аЯУ)п |
|
-№п |
<а а )я |
’ тп - |
VI |
||
|
|
|
|||||
|
(аЫ)п |
Тп+гУп |
|
|
|
|
|
|
' п+ 1— Vл+1 |
|
|||||
+ |
Мл-ц (а ЯУ)я |
|
Уп+х |
0. |
(34) |
||
1л+1 |
- V |
||||||
|
|
|
Iп+1 |
|
|||
300Свободные и вынужденные колебания стержней
0.Уравнения частот и их корни
Схема |
балки |
Уравнение частот |
Корни уравнения |
|||
|
частот |
|
||||
1 |
|
|
1 |
|
3,142 |
|
|
ят Ш= 0 |
2 |
|
6,283 |
|
|
|
|
И |
|
9,425 |
|
|
|
|
|
4 |
|
12,566 |
|
|
|
|
к |
|
кп |
|
2 |
|
|
1 |
|
4,730 |
|
|
|
2 |
|
7.859 |
|
|
|
|
соз а/ сЬ а/ = 1 |
3 |
|
10,996 |
|
|
|
4 |
|
14,137 |
|
|
* |
|
Ъ |
к |
- у |
(2А + |
1) |
$ |
|
|
1 |
|
3,927 |
|
|
|
|
2 |
|
7,069 |
|
|
|
I# а1 = Нг а1 |
3 |
|
10,210 |
|
|
|
4 |
|
13,352 |
|
|
|
|
|
к |
|
<« + К |
|
4 |
|
|
1 |
|
1,875 |
|
|
|
2 |
|
4,694 |
|
|
Я |
|
со5 0.1сН а1 = — 1 |
3 |
|
7,855 |
|
|
4 |
|
|
|
||
|
|
|
Я |
|
|
|
|
|
|
к |
- г ' 8* - 1» |
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
0 |
|
5 |
|
|
2 |
|
4,730 |
|
|
соз а/ сН а/ = 1 |
3 |
|
7,853 |
|
|
|
|
4 |
|
10,996 |
|
|
|
|
|
5 |
|
14,137 |
|
|
|
|
к |
Т |
{2А “ |
1} |
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
0 |
|
6 |
|
|
2 |
|
3,927 |
|
|
а/ = 1Ь а/ |
3 |
|
7,069 |
|
|
|
А |
5 |
|
10 210 |
|
|
|
|
|
13,352 |
|
||
|
|
|
к |
Ак — 3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
Я |
|
|
|
|
|
|
||
|
7. Выражения для собственных форм колебаний |
|
|
|
||
Схема |
|
Собственная форма колебаний |
|
|
|
|
в табл. |
|
|
|
|
||
6 |
|
|
|
|
|
|
/ |
|
X {<хх) = з!п ах |
|
|
|
|
2X (си) = (з!п а1 — зЬ а1) (сЬ си — соз си) —
—(с1г а 1 — соз ос/) (зН ах — з!п ах)
Свободные колебания (точные исследования) |
303 |
где п — номер пролета, совпадающий с номером правой опоры данного пролета. Если жесткость и интенсивность распределенной массы оди наковы во всех пролетах, то в уравнении (34) сокращаются все множи
тели |
.Если, кроме того, все пролеты имеют равные длины, то урав |
|
нение |
(34) приобретает вид |
|
|
Мп-Уп + 2Мп [ТпУп - ЗпУп) + М пчУм = 0. |
(35) |
Пример в. Составить уравнения частот двухпролетной балки с постоян ными жесткостью и интенсивностью распределенной массы, но с разными длинами пролетов /» и /8. В данном случае М0 = М2 = Оипо уравнению (35)
получаем |
|
|
|
|
сН а /| -5]п а1, — |
а I, со& а I, |
с!г а /2 51 п а 13— зН а 13 соз а 13 |
||
2 5й а1{ $1п а/, |
+ |
2 5й а/3 51п а/а |
||
Так как М х + 0, то нулю должно равняться выражение, стоящее I скоб- |
||||
ках; это дает |
|
+ сГд 1юс/2 = |
с (д а /1 + с1&а/.. |
|
сЕд Иа/, |
||||
Например, при /, = |
/* |
наименьший |
корень Ш = 1,78. |
|
Влияние заданной продольной силы. Если стержень испытывает действие продольной силы N, то дифференциальное уравнение его сво бодных поперечных колебаний имеет вид
|
|
. д2у |
I |
N |
д2о |
|
(36) |
ш |
дх* |
дГ2 |
1 ш |
дх2 |
|
||
|
|
||||||
причем положительной считается сжимающая сила N. |
|
||||||
Собственная форма колебаний определяется выражением |
|
||||||
X СX) — СхзЬ Р* |
С2сЬ Ра: Н- С3 зш уд: + |
С4 соз ух, |
(37) |
||||
где |
|
______________________ |
|
||||
я _ |
л , |
|
|
1 / 1 . |
1 |
|
|
^ |
Е^ 1 / |
2 |
+ |
V |
4 *" |
Л/3 ’ |
|
Г________________________ (38)
У ~ Е^ у |
V |
1 |
1 |
(Б/)2 |
2 т V |
4 |
^ |
Л13 ‘ |
Величину а определяют по формуле (27). Собственные частоты р* шарнирно опертого стержня вычисляют по формуле
ь = п У 1+ш п> т> |
<39> |
|
в которой рь — к-я собственная частота при |
N = 0. |
|
Низшая собственная частота колебаний консольного стержня, на |
||
груженного на свободном конце сжимающей силой |
|
|
' + - Ш Г - |
(40> |
|
Если консольный стержень нагружен равномерно распределенной |
||
продольной нагрузкой, тонизшая собственная частота |
колебаний |
|
р! =р, У ' + - ш |
- |
(41) |