Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

374	Колебания пластинок

деформированной и недеформированной форм пластинки нельзя пре небречь при составлений дифференциальных уравнений движения, которые будут иметь вид

й ДДщ + РЛ ^	Ру,	(16)
ДДР = —	ЕЛД (м>.ш);

здесь Л — оператор Лапласа; оператор А выражается в ортогональных криволинейных координатах следующей формулой:

Связь усилий с функцией напряжений Р определяется формулами

		(	1	д р \	\	__1___ дН2			дР
Н2	дх2	(	1	д р \	\	1	'	дн*	эр
Н2	дх2	\	Яо	дх2)	+	НгН\	'	дхг	' дх1*
						НгН\	’	дх1	' д*1 ’
д . ___^	_а_	/	I	дР\		I		дНх	дР
гг Я ,' дхх \			Н г' Эх1)		+		•	дхг • дхг 5

(18)

Колебания изотропных пластинок, прямоугольных 0 плане 375

КОЛЕБАНИЯ ИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИНОК, ПРЯМОУГОЛЬНЫХ В ПЛАНЕ

Дифференциальное уравнение колебаний пластины в декартовой системе координат. Пусть срединная плоскость недеформированной прямоугольной пластинки отнесена к декартовой системе координат #1, х2 (рис. 2). Тогда коэффициенты Ламе будут

Пластинки, опертые по контуру. Собственные формы колебаний опер той прямоугольной пластинки со сторонами ах, а2 удобно искать в виде

.	ппи	.	пт2	(шь т2 = 1, 2, 3, .. .). (20)
IV = Ш0 5Ш	----± Х 1	ЗШ	----- Х 2	(шь т2 = 1, 2, 3, .. .). (20)

Выражение (20) удовлетворяет кинематическим и статическим гра ничным условиям, которые для края х1 = 0, ах имеют вид

т = Млх = 0,

д2ш ЙУ= —7Г = 0.

дх\I

Подставляя выражение (20) в уравнение (19) при д = 0, нетрудно убедиться, что формула для собственных частот опертой пластинки

имеет вид

т:

(21)

Пластинки, опертые по двум противоположным сторонам. Пусть две противоположные стороны (х2 = 0 и х2 = а2) прямоугольной пластинки оперты, а на двух других заданы однородные краевые условия типа

= 0,

где I — оператор, в который входят только четные (или нечетные) про изводные по х2. Тогда собственные формы колебаний пластинки по стоянной толщины можно представить в виде

щ = (Сх $Ь ах1+ С2 ей ахг + С3 з т §хх 4- С4 соз р^) з т

х2\ (22)

°2

376	Колебания"пластинок

здесь т а = 1, 2, . . . — число полуволн в направлении оси х2\ Сх,х — постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий при хг = 0, хх = ах\ постоянные а, р зависят от частоты колебаний

_1_

а = (к- + <о.) 2 ;

_1_

Р = (ш ,- А 2) 2

Будем обозначать С — защемленный, 5 — опертый, Р — свободный края. Уравнения частот для различных комбинаций условий на краях

хх — 0 и хх = ах будут

		5	— 5:	31П Рах =		0;
	5 — С:		а(7г —			Ра1 = 0;
	5 —Р:	а 1Ь				ра, = 0;
С - С :
С — Р: 2 (1 +			аЬ) +	(а +	Ь) сЬ а ах со$ Рах +		(23)
С — Р: 2 (1 +			аЬ) +	(а +	Ь) сЬ а ах со$ Рах +
Р — Р:
(а	а2 — \к г				ь	Р* +	\
(а	а2- (	2 - V )* 2 '*				Р2 + (2 — ч) к2	) '

Значения безразмерного параметра частоты р при различных гра ничных условиях приведены в табл. 1 [19, 28].

Колебания изотропных пластинок, прямоугольных в плане 377

м2д®рЛ

Частоты р = —-----— прямоугольной

опертой по сторонам дг*=0; а, (5—5) при различных условиях на сторонах хг = 0, аг

Пластинка, защемленная по контуру. Задача об определении частот и форм свободных колебаний защемленной по контуру прямоугольной пластинки не поддается решению в аналитической форме и может быть решена лишь приближенными методами. Удобно искать формы собствен ных колебаний в виде произведения балочных функций Рт (х), соот ветствующих балке с защемленными концами

№тп — СтпРпх (-Ч) Рп (-'а)-

Применение формулы Рэлея-Ритца дает приближенное значение для частоты собственных колебаний

\| П	и - +х '- « [ ( ^ Й г Г - ^ '- 2 г ]						ёх14хл
Р/1			п
			п
или после интегрирования
	Р	(	Ап	^ ВтВп	1_
	Р	(	Ап	^ ВтВп	2 .
	рЛ	^ а\	а\	а\а1	2 .
	рЛ	^ а\	а\	а\а1
здесь
1,506	( т =	1)		1,248		(т =	1)
1+ 0,5 ( т ^		•	Вт = \	/	9 \
1+ 0,5 ( т ^		2)}	П4,„ 1 ^ А Ш — — ^			{ т ^	2).

378	Колебания пластинок

Результаты вычислений безразмерной частоты

®- = Ч ( - § ) 2 »

полученные методом Эдмана [35], приведены в табл. 2.

2. Частоты со* = (рЛД))1^2 собственных колебаний защемленной по контуру прямоугольной пластинки при различных отношениях

сторон	(т1, п\г — числа полуволн			соответствующих		форм колебаний)
ш,	«1
ш,	а,	1	2	3	4	5	6
	а,

1	1	35,999	73,405	131,902	210,526	309,038	428
1	1.5	27,012	65,5	126	206	303	422
	2	24,58	64,1	124	204	302	421
2	1	73,405	108,237	165,023	242,66	340,59	458,27
2	1,5	41,715	79,81	138,64	218	316,11	436
	2	31,833	71,08	130,35	210	308, 12	427
	1,5	131,902	165,023	220,06	296,35	393,36	509,9
	1,5	66,533	103	161,234	241	339	457
	2	44,779	83,2	142,38	221	320,12	439
	1	210,526	242,66	296,35	371,38	467,29	593,8
	1,5	100,81	136,096	193,24	271,17	369,34	488
	2	63,34	100,80	159,49	238,35	337,08	456
5	1	309,038	340,59	393,36	467,29	562,18	676
5	1,5	144,21	178	234,65	312	409	529
	2	87,26	124,2	181,79	261	358,0	478
6	1	428	458,27	509,9	583,83	676	792,5
6	1,5	195	230,04	285,4	361,90	456	576,6
	2	117	151,91	209,6	287,54	382	504,3
Сопоставление^		результатов вычисления			различными		методами

частот квадратной (сх = а2 = а) пластинки, защемленной по контурУ| дано в табл. 3.

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/74208

Смотрите также:



17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Анализ эффективности инвестиций предприятия на примере ООО «СпецПримСтрой»
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009