Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Колебания изотропных пластинок, прямоугольных в плане 379

3. Безразмерные частоты			свободных колебаний
защемленной по контуру квадратной пластинки
			т
Метод			п
Метод		1	2	2
		1	2	2
		1	1	2
Рэлея-Рнтца (первое прибли		37,46	74,84	108,13
жение) . .	. .	37,46	74,84	108,13
Рэлея-Рнтца	. .	35.99	73.41	108,27
Эдмана . .		35.999	73,405	108,237
Вайнштейна		35.99	70	105
Саусвелла		32,816	67,87	97,86
Игути . . . .		35.99	73.41	108,22
Метод рядов		35,7	75,0	107,8

Игути [30] при определении частот и форм собственных колебаний защемленной пластинки искал формы колебаний в виде, удовлетворя ющем условиям защемления

	7	. Л/Н1ГЛ2 IГ'хг (1 — ад)2 + ( - !)
	ш«. т.
		____51п лщ хА Г Ха (А-г -					— о^)2	,
		пщ		а*	\ \		,3
		пщ		а*	\ \		4"2
	+	( - I)"1*			-	4	- зи, ^
						ят2
	Это выражение подставлялось в дифференциальное уравнение
			0 ЛДю — рНю2ш = 0.
	Левая часть раскладывалась в двойной ряд Фурье
		V I		пшл			лпи	_
		2 а	~	5Ш - Б Г * » = 0 -
		т1, тг
	Частоты и коэффициенты					определялись из уравнений			вида
				ат1тг
	Результаты	вычислений		Игути		для	параметра частоты		а =
=	соа^ (рл/0 я4)1/2 для		квадратной		пластинки (а1 = а 2) приведены
в	табл. 4 (см. также табл. 17).

380		Колебания пластинок
	.	Частоты ° =	Ш 01	( рЛ \ 1/2		и Ф°РМЫ	колебаний
	.	Частоты ° =		1-^-1		и Ф°РМЫ	колебаний
		защемленной по контуру квадратной пластины
Узлоп					Узловые ЛИ И11II
		3,0*16				+ ( - ) +	13,393
						чУ у
+		7,437				и	16,717
						и

-	+	10,965					24,631
+	-	10,965					24,631
+	-

Пластинки, свободные по контуру. В этом случае граничные услоия принимают вид

д-уц	.	д2ы> _	.	.0 _	.	д3ы/	= 0	(хх =	0, аД;
д х *		д х \	д х *			д х ^ д х *	= 0	(хх =	0, аД;
д х *		д х \	д х *			д х ^ д х *
д2ьи	,	д2ш	~Т Т +	(2 ~	ч	д3ии	= 0	[х2=	0, аг).
т т	Т" V ~Т~2 =		~Т Т +	(2 ~	у)	п о -—	= 0	[х2=	0, аг).
дхг,		дх\	дх'1			дх\ дх2

Для решения можно применить метод Рэлея-Ритца, используя при приближенном определении форм свободных колебании балочные функции, соответствующие балкам со свободными концами:

0У//1|Л«а “ иШ1Шв^'|П,

^!Пг (^2)*

Применяя формулу Рэлея-Ритца, получим в первом приближении

со == л2	о_	+
	р/х

_1_ „. + и - ^ с ш с (П!] 2 .

Колебания изотропных пластинок, прямоугольных в плане 381

здесь для сокращения приняты следующие обозн'

1,506

Ат =

т + 0,5

Сщ

(гп = 0), < « = !) . Вт

(ш ^ 2);

1 12

Iл-

Ч5.017

1 ^ :п (' Ат

		0		(/л = 0),
= ■	1,248			(т = 1),
	л "‘ ( Л	т - 4	)	2);
	л "‘ ( Л	т - 4	)
	(т =	0),
	('« = !> .
4,	(т ^	2).

Результаты ^вычислении	Игути	131 ] безразмерных частот м* и
форм колебаний методом,	рассмотренным на стр. 379, приведены
в табл. 5.
	о	1/2
		и формы колебаний

свободной кпа; а гнои п.?пастины (у = 0,3)

382	Колебания пластинок

Другие случаи опорного закрепления. В общем случае произвольных граничных условий проще всего использовать первое приближение по методу Рэлея-Ритца, выбирая в качестве аппроксимирующих функций произведение балочных функций, соответствующих балкам с анало гичными граничными условиями:

			“Ч ш . = с т , т / т ! Ы Р т ! Ы ,
где т1— число узлов функции Р ^								(*,).
	Формула Рэлея-Ритца дает приближенное значение соответствующей
частоты собственных				колебаний
	(	й	(л <‘>4	Л<2> \		2			_1_
(0 =									2
	(	р"	1 4 +	4	4	4	[уВ<1>В<2, + ( 1- г)С<1»С<2>]

	Постоянные Л*11, В^				и С{1* зависят только от граничных				условий
при хг =		0, ах. Соответственно, постоянные А®\ В^ и С ^ полностью
определяются граничными условиями								при х2 = 0, а2. В табл.	6 даны

значения постоянных А, В, С при различных сочетаниях краевых усло вий на противоположных сторонах пластинки (С — защемленный, 5 — опертый, Р — свободный края).

Более высокие приближения безразмерных частот, вычисленные по методу Рэлея-Ритца, приведены в табл. 7.

Свободные колебания пластинки, опертой по контуру и в отдельных точках внутри области. Пусть прямоугольная плита оперта по контуру и, кроме того, в точке с координатами х± = у1, х2 = Уг• Если 0 — ча стота свободных колебаний такой пластинки, то в точке опирания воз

никнет сила реакции		Ре**1. Решение этой задачи известно:
		ш(*1; х2\ О		4Рет	X
				а^р Л
					71И1оХп
	V	Д1	Од		а, _	(24)
						(24)
где	— частоты свободных колебаний прямоугольной пластинки,

опертой по контуру. Равенство нулю прогиба в точке опирания дает уравнение частот

(*ш	(вы	л'М а- ) а
2		■= 0.
2	\	/
т^та	\	/

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/74208

Смотрите также:



17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Анализ эффективности инвестиций предприятия на примере ООО «СпецПримСтрой»
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009