Литература |
369 |
20. Я к у б о в и ч В. А. Замечание к некоторым работам |
по системам |
линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Прикладная математика и механика. Т. 21. Вып. 5, 1957.
21. Я к у б о в и ч В. А. Метод малого параметра для канонических систем с периодическими коэффициентами. Прикладная математика и меха ника. Т. 23. Вып. I, 1959.
22.Е V а п • I V а п о V з к I К. М. Оп 1ке рагатсЫс гезропзс о! 5(гис1игез. Арр1. МесЬ. КеУ., уо1. 18, п. 9. 1965.
23.М е Ш е г Е. А11дсте1пе ТНеопо с!ег 8(аЫШа1 еггугилдепег 5сН\у1п-
дипдеп ектзИзсЬег Кбгрег. 1пдеп1еиг—А г с Ы у , Вб. 17, п. 6, 1949.
24.М е I 11 е г Е. Оупапйс ЬискИпд. НапбЬоок о! Елд1пеегшд МесЬа- п!сз (еб. Ьу \у. Р1йдде), Мс Ога\у-Н111, №\у-Уогк, 1962.
25.Р 1з г с г е к К. Рагатс1пс сотЫлаНоп гсзопапсе (о! 1Нс зесолб
к1пб) 1п попПпеаг зуз1ешз. Рогргалуу 1пгк., 1. 8, 1960.
26. |
5 с к ш 1<11 |
О. ЙЬег сПе |
В1еде$сЬумпдипдеп без де1епк!д де1адег1еп |
|||||
ах1а! ри1з1сгелс1 |
Ье1аз1е1еп |
31аЬс&. |
Ма1ет. №скпсН1еп. Вб. 23, п. 2, 1961. |
|||||
27. |
3 с Н т |
1 б 1 |
О. ПЬсг б1е |
(2исгзс1г\у1пдипдеп вск^асН уогдскг0тт1ег |
||||
51аЬе Ье1 ехгсп1п5ск |
апдгеИелбег |
ри|51сгспбег |
ЬапдзЬе1а$1ипд. Ма1еш. Иаск- |
|||||
г1сЫел., Вб. 23, п. 4—5, 1961. |
|
е г |
Р. |
1пз1аЬШШеп дебатрГ- |
||||
28. |
5 с Нт |
1 б 1 |
О., |
V/ е I б е п к я т т |
||||
1ег гкеоПпеагег 5сЬ\ушдипдеп. Ма111ет. №скг1сЫеп, |
Вб. 23, N 4—5, 1961. |
|||||||
29. |
Ш е I б е п На т т |
е г Р. |
ЭДсМПлеаге В1едезс1т1пдипдеп без ах1а1— |
|||||
риЫегепб Ье1аз1е1сп |
51аЬез. 1пдсп1еиг—АгсЫу, |
Вб. 20, N 5, 1952. |
||||||
Глава 7
КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНОК
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИНОК
Уравнение изгиба пластинки в ортогональной системе координат для динамического случая. Пусть срединная поверхность изотропной пластинки постоянной толщины Н отнесена к ортогональной криво линейной системе координат хгх2 (рис. 1). Дифференциальное уравнение малых поперечных колеба ний в рамках гипотез Кирхго
фа-Лява будет
ОДДш + рЛ -щ т = <?; (1)
здесь ш—прогиб пластинки; 0 =
ЕН.3
— 12 (1 _ ^2) ~ Цилиндрическая
жесткость; р — плотность мате Рнс. 1 риала; ц (х1( х2, 0 — интенсив ность поперечной нагрузки; Е —
модуль упругости; V — коэффициент Пуассона;
Н гН Л дхЛ Н ! дх,)
обобщенный оператор Лапласа; Яц Я 2 — параметры Ламе.
Моменты Мп, М22. М12 и |
перерезывающие силы |
выража |
||
ются через прогиб |
пластины |
ш следующими |
формулами: |
|
ч[ |
1 а |
дш |
дНх |
дьи |
Дифференциальные уравнения колебаний пластинок |
371 |
|||||||
М12= - |
1 - * |
п |
ГЯ| |
Л / ' |
1 |
аДО > |
, |
|
|
2 |
° |
Но ■дхг ^ я?: |
| А |
дх1 | |
|
||
|
Ог = |
|
д |
Адо; |
Р2 - 4 |
_д_ |
(3) |
|
|
° ж |
’дх, |
*дх2 |
|||||
Если толщина Л является дважды дифференцируемой функцией координат хх, х2, то дифференциальное уравнение колебаний примет вид
|
|
1 — V |
|
~Н2 дО |
( |
1 |
Л |
( 1 |
да) \ |
|
А (Л Дои) — ИуНг |
^дхг |
Н\ 'дхх 1н2 ’ дх2 \ ~Щ"д72) |
||||||||
|
1 |
дН2 . да) \ |
дБ |
|
|
/ |
! |
да) \ |
||
+ ■я?я2 |
дхг |
дГг) |
дх2 (я , |
’ал-! и,'ш :) |
||||||
1 |
|
да) \ 1 |
|
\Н 1 ао |
/ » |
_а_ / |
1 |
да) |
||
н\н. ’ дх2 *аТГ)] |
|
Н2 |
|
( я ; |
дхг \ ИХ'дГх |
|||||
1 |
1 |
дНх |
дш \ |
дй /_1_ |
_д_ ( ± |
да) \ |
||||
Т~ я,я= |
дх2 ' дГг ) |
дхх ( Я2 ’ дх2 \Нг |
|
|
||||||
|
|
1 |
дН2 |
да) \ ]) |
, |
, дЧ-а) |
|
|
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
"Л42 — 7- |
|
|||
Связь моментов с прогибом выражают формулами (2). Связь перере зывающих сил с прогибом принимает вид
|
|
, |
( 1 |
дй |
г 1 |
а |
( 1 |
аш\ |
|
|
|
|
дхх |
я а |
алг2 \# 2 |
|
|
1 |
дН2 |
да |
1 |
дЭ Г |
1 |
а |
/' 1 |
адо \ |
* гг2гг |
ЛV* |
ЛV. |
Я2 |
дх2 |
Я, |
дхх |
\, я а |
|
|
|
1 |
дН1 да) Ц |
|
|
|
||
|
|
Н\Н2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
- V ) |
1 |
дР |
Г_1___ д_ |
(5) |
||
|
|
И* ' дхо |
Я | |
’ дхх \ Нх |
' дхх) |
|||
Дифференциальные уравнения колебаний пластинок |
373 |
||||||||||||
или по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<?« = <? + |
лг„ |
“ |
1 |
^ д |
|
|
-— |
) + |
НХН\ |
дНх дш! |
|
||
|
|
|
Н\ |
дхг |
|
|
дх,) + |
дх. |
|
|
|||
+ И 1г Г«. |
|
д |
( 1 |
дт \ |
, |
Иг |
|
I |
гг2 *л»- |
I М" |
|
||
■ дх2 |к |
|
|
Н ' Л*- |
|
|||||||||
|
н 2 |
ж , I + |
7 л " |
|
|
|
|
|
|||||
ч - л и |
|
1 |
|
д ( |
I |
д& \ |
1 |
|
дНа |
|
( 12) |
||
|
|
дх2 \Н 2 |
дх2) |
я^Я2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
если усилия УУар удовлетворяют однородным |
уравнениям |
равновесия |
|||||||||||
а №гЯо) |
+ |
^ № а/Л) |
|
|
дН1 |
|
|
дН2 |
|
|
|||
|
|
|
дх2 |
+ П г * 4 ё -Ы м - & - 0; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
С?*; |
|
|
|
|
|
||
а № ак 8) |
+ |
д (М,,/УД |
|
|
ая, |
|
|
а я 2 |
|
|
|||
^А'| |
|
|
дХо |
|
|
|
|
|
а^, |
|
|
||
Граничные условия (6), (8) сохраняют свой вид. В граничные усло- |
|||||||||||||
ия (7) вместо |
следует подставить выражение |
|
|
|
|||||||||
|
« 0 |
|
п |
л; |
1 |
дгю |
а/ |
1 |
^ |
|
(13) |
||
|
9 1 - 0 - ^ п н ^ -д ^ -М н -Щ -Ж г - |
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||
Учет внешнего и внутреннего трения при колебаниях пластинки. Простейшая модель, учитывающая влияние внешнего трения, основана на гипотезе, что интенсивность силы внешнего трения <7* пропорцио
нальна скорости прогиба в данной точке ^<7* = —2к Соответству
ющее дифференциальное уравнение колебаний пластинки постоянной толщины имеет вид
ОДДш + 2/Ь ^ -|-рй ^ = Ч- (И)
Из большого количества моделей, отражающих влияние внутреннего трения, простейшей и, по-видимому, наиболее распространенной яв ляется модель, основанная на гипотезе Кельвина, что силы внутреннего трения имеют вязкий характер.
Дифференциальное уравнение колебаний пластинки из такого ма
териала имеет вид |
|
0ДД ( ю + к ^ + р / 1 ^ ^ . |
(15) |
Коэффициент вязкости и войдет также в выражения для |
моментов |
и перерезывающих сил. |
|
Нелинейные колебания пластинок. Нелинейные колебания могут возникнуть в силу целого ряда различных причин (нелинейная упру гость, нелинейное трение и т. п.). Здесь будет рассмотрена лишь нелинейность, связанная с большими прогибами, когда различием