Материал: Радиотехнические цепи и сигналы для дистанционного обучения. Останков А.В

Нетрудно убедиться, что если интервал дискретизации T принять равным 1/(2FM) и для восстановления сигнала применить фильтр с коэффициентом передачи K0 = 1 и частотой среза FC = FM, то выражение (90), определяющее реакцию ИФНЧ на воздействие (87), будет совпадать с (86).

Подтвердить этот результат можно и с частотных позиций. Известно, что комплексный спектр GɺT (f ) дискретизированного сигнала представляет собой бесконечно и периодически повторяющуюся совокупность копий комплексного спектра GɺS(f ) исходного сигнала, смещенных друг относительно друга на частоту дискретизации F:

Результат определяемого формулой (91) преобразования спектра отображён на рис. 78, где показан (качественно) спектр GɺS(f ) исходного сигнала s(t) (рис. 78, а) и спектр сигнала sT(t), полученного дискретизацией s(t) (рис. 78, б-г). Видно, что если интервал дискретизации выбран из условия T ≤ 1/(2FM), то копии спектра дискретизированного сигнала не перекрываются. В соответствии с частотным методом анализа спектр сигнала v(t) на выходе фильтра с комплексным коэффициентом передачи KɺФНЧ (f ) определяется как

GɺV (f ) = KɺФНЧ (f ) GɺT (f ).

(92)

Это означает возможность без искажений выделить центральную копию спектра дискретизированного сигнала sT(t), соответствующую спектру исходного сигнала, с помощью фильтра, АЧХ которого показана штриховой линией на рис. 78, б.

155

GS( f )

Рис. 78

При этом если T = 1/(2FM), то для неискажённого восстановления сигнала надо использовать фильтр лишь с идеально прямоугольной АЧХ. При T < 1/(2FM) требования к характеристике восстанавливающего фильтра снижаются (в частности, можно использовать фильтры с конечной крутизной скатов АЧХ), при T > 1/(2FM) неискажённое восстановление сигнала принципиально невозможно, поскольку исходный спектр оказывается частично перекрытым своими сдвинутыми на ±F копиями. Заметим, что хотя при T ≤ 1/(2FM) спектр амплитуд сигнала v(t) на выходе фильтра в точности совпадает со спектром сигнала s(t), фазовые спектры исходного и восстановленного сигналов различны. Это различие обусловлено фазочастотной характеристикой фильтра и проявляется в виде задержки восстановленного сигнала по сравнению с исходным сигналом на время

156

где ϕФНЧ (f ) — ФЧХ фильтра.

Итак, процедура дискретизации не исключает возможности точного восстановления сигнала по его дискретным отсчётам. Но теорема Котельникова, определяющая эти процедуры, оговаривает ряд условий, выполнение которых на практике невозможно. Так, требуется, чтобы спектр дискретизируемого сигнала был ограничен, отсчёты были бесконечно короткими и учитывались на бесконечном интервале времени, а восстанавливающий фильтр обладал бы бесконечным затуханием за пределами полосы пропускания. В действительности число отсчётов s(k T) дискретизированного сигнала конечно, спектр сигнала, подвергающегося дискретизации, не ограничен по частоте, а идеальный восстанавливающий фильтр физически не реализуем. Вследствие этого дискретизация сигналов всегда приводит к появлению погрешности. Возникающие при этом искажения качественно проиллюстрированы на рис. 79 и 80.

GS( f )

Рис. 79

Из рис. 79, а видно, что реальный сигнал s(t) с конечной длительностью обладает бесконечно протяжённым спектром (в качестве примера рассмотрен спектр прямоугольного импульса). Его дискретизация даже с малым (но ненулевым!) интервалом дискретизации T всегда приводит к перекрытию копий в составе спектра дискретизированного сигнала (рис. 79, б). По этой причине центральная копия спектра сигнала sТ(t), выделяемая при восстановлении идеальным ФНЧ, не совпадает по форме со спектром исходного сигнала (сравните рис. 79, в и а), что естественно приводит к искажению восстановленного сигнала по сравнению с исходным.

157

Идеальный ФНЧ служит лишь теоретической моделью для объяснения принципа восстановления непрерывного сигнала по его дискретным отсчётам. Реальный фильтр нижних частот вне полосы пропускания всегда обладает конечным ослаблением. Это приводит к тому, что при выборе частоты среза ~ ½F (как в случае идеального ФНЧ) на выход реального фильтра нижних частот проникают составляющие не только нужной центральной копии, но и соседних копий спектра дискретизированного сигнала sТ(t) (штрих-пунктир на рис. 80, б). При уменьшении же частоты среза частотная характеристика оказывается уже центральной копии спектра GɺT ( f ) : полезные спектральные составляющие верхних частот проходят через восстанавливающий фильтр с заметным ослаблением (пунктир на рис. 80, б). Из приведенных на рис. 80 графиков видно, что реальный фильтр нижних частот неизбежно искажает сигнал при восстановлении.

GS( f )

KФНЧ( f ) GT( f )

GV( f )

Рис. 80

Невозможность обеспечить нулевую длительность отсчётных импульсов также ведёт к погрешности. В самом деле, пусть длительность импульсов равна τИ. Тогда сигнал, подаваемый на вход восстанавливающего фильтра, может быть представлен в виде совокупности прямоугольных импульсов с амплитудами, пропорциональными величине дискретных отсчётов s(k T). Спектр дискретизированного сигнала в отличие от (91) имеет вид

158

Из (94) следует, что ненулевая длительность отсчётных импульсов приводит к показанному на рис. 81 «завалу» высокочастотной части центральной копии спектра дискретизированного сигнала, а значит к внесению дополнительной погрешности при восстановлении непрерывного сигнала.

sinc(πfτи) GT( f)

f

Заметим, однако, что реально незначительные по величине искажения, хотя и нежелательны, но допустимы.

При фиксированной частоте среза FC восстанавливающего фильтра частота дискретизации, как правило, должна превышать удвоенное значение FC. В случае если практическая ширина спектра FМ дискретизируемого сигнала не удовлетворяет условию восстановления с допустимой погрешностью, т.е. FМ > FC, целесообразно уменьшить (при возможности) длительность исходного сигнала так, чтобы выполнялось FМ ≤ FC.

12.3. Описание виртуального стенда

Работа выполняется с использованием схемного файла «Synthesis of signals on Nyquist theorem.ewb», рабочее поле которого показано на рис. 82. Виртуальная установка содержит запускаемый извне генератор отсчётных импульсов (субблок «GOI»), формирующий периодически повторяющиеся пачки из 32-х прямоугольных импульсов (отсчётов) варьируемой длительности. Амплитуду и полярность первых 20-ти отсчётных импульсов можно регулировать вручную с помощью вынесенных из генератора «GOI» задающих источников (обозначены как 1…20), последние 12 импульсов отсутствуют для визуального разделения соседних пачек импульсов друг от друга. В результате стенд позволяет имитировать разнообразные последовательности дискретных отсчётов заданной формы.

159