|
|
Таблица 46 |
|
|
|
Вари- |
Формула, определяющая значение k-го отсчета sk |
|
ант |
|
|
1 |
1 при 0≤k ≤(N −1)/2, |
|
|
−1) |
|
|
2−2k/(N −1) при (N −1)/2≤k ≤(N |
|
2 |
1−2k/(N −1) при 0≤k ≤(N −1)/2, |
|
|
≤(N −1) |
|
|
(2k −N +1)/(N −1) при (N −1)/2≤k |
|
3 |
2k/(N −1) при 0≤k ≤(N −1)/2, |
|
|
|
|
|
1 при (N −1)/2≤k ≤(N −1) |
|
4 |
1 – 2k / (N – 1) при 0 ≤ k ≤ (N – 1) |
|
|
|
|
5 |
1 – k / (N – 1) при 0 ≤ k ≤ (N – 1) |
|
|
|
|
6 |
2k/(N −1) при 0≤k ≤(N −1)/2, |
|
|
|
|
|
2−2k/(N −1) при (N −1)/2≤k ≤(N −1) |
|
7 |
k / (N – 1) при 0 ≤ k ≤ (N – 1) |
|
|
|
|
8 |
2k/(N −1) при 0≤k ≤(N −1)/2, |
|
|
≤(N −1) |
|
|
2(k−N +1)/(N −1) при (N −1)/2<k |
|
9 |
sin[k π / (N – 1)] при 0 ≤ k ≤ (N – 1) |
|
|
|
|
10 |
exp(−3 k / N) при 0 ≤ k ≤ (N – 1) |
|
|
|
|
11 |
1 − exp(−3 k / N) при 0 ≤ k ≤ (N – 1) |
|
|
|
|
12 |
1 − [k / (N − 1)]2 при 0 ≤ k ≤ (N – 1) |
|
13 |
k/(N −1) при 0≤k ≤(N −1)/2, |
|
|
|
|
|
1 при (N −1)/2<k ≤(N −1) |
|
14 |
2k/(N −1) при 0≤k ≤(N −1)/2, |
|
|
|
|
|
1/2 при (N −1)/2<k ≤(N −1) |
|
15 |
1/2 при 0≤k <(N −1)/2, |
|
|
|
|
|
2−2k/(N −1) при (N −1)/2≤k ≤(N −1) |
|
16 |
1−k/(N −1) при 0≤k ≤(N −1)/2, |
|
|
|
|
|
1/2 при (N −1)/2≤k ≤(N −1) |
|
17 |
1/2+k/(N −1) при 0≤k ≤(N −1)/2, |
|
|
|
|
|
3/2−k/(N −1) при (N −1)/2≤k ≤(N −1) |
|
18 |
1−k/(N −1) при 0≤k ≤(N −1)/2, |
|
|
|
|
|
k/(N −1) при (N −1)/2≤k ≤(N −1) |
|
19 |
– 1 + 2k / (N – 1) при 0 ≤ k ≤ (N – 1) |
|
|
|
|
20 |
2k / (N – 1) – 2 при 0 ≤ k ≤ (N – 1) |
|
|
|
|
21 |
sin[1.5π k/(N −1)] при 0≤k ≤(N −1)/2, |
|
|
|
|
|
sin[1.5π (N −1−k)/(N −1)] при (N −1)/2≤k ≤(N −1) |
|
165
|
|
|
|
|
Окончание табл. 46 |
|
|
||||
Вари- |
Формула, определяющая значение k-го отсчета sk |
||||
ант |
|
|
|
|
|
22 |
9sin |
2[π k/(N−1)]exp[ |
−6k/(N−1)] при 0 ≤ k ≤ (N – 1) |
||
23 |
3k/(N −1) при 0≤k ≤(N −1)/3, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
1.5(N −k−1)/(N −1) при (N −1)/3≤k ≤(N −1) |
||||
24 |
4/3 k/(N −1) при 0≤k ≤3(N −1)/4, |
||||
|
−k−1)/(N −1) при 3(N −1)/4≤k ≤(N −1) |
||||
|
4(N |
||||
25 |
1.87{k/(N−1)−exp[6k/(N−1)−6]} при 0 ≤ k ≤ (N – 1) |
||||
|
|
||||
26 |
4{k/(N−1)−[k/(N−1)]2} при 0 ≤ k ≤ (N – 1) |
||||
27 |
2sin[2 |
π k/(N−1)]exp[ |
−3k/(N−1)] при 0 ≤ k ≤ (N – 1) |
||
|
|
||||
28 |
1−exp[−15k/(N −1)] при 0≤k ≤(N −1)/2, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
sin[π k/(N −1)] при (N −1)/2≤k ≤(N −1) |
||||
Произвести моделирование. Зарисовать осциллограмму восстановленного LC-фильтром непрерывного сигнала. Сделать вывод о качестве восстановления. Если неясна форма исходного непрерывного сигнала, рассчитать по заданной в табл. 46 формуле значения отсчётов исходного сигнала для большого N (например, N = 39).
Уточнить длительность дискретизированного сигнала TS, измерив её по экрану осциллографа или рассчитав по формуле TS = 5/F. Активировать команду «Fourier ...» в меню «Analysis», задать её параметры и измерить амплитудный спектр сигнала на входе фильтра (в ноде 4). Зарисовать полученный спектр, нанести поверх график АЧХ фильтра. Сделать вывод о качестве восстановления с частотных позиций.
Исследовать влияние длительности дискретизированного сигнала на качество восстановления непрерывного при фиксированной частоте дискретизации.
Не меняя частоты следования отсчётов (8 кГц), путем последовательного добавления числа используемых отсчётных импульсов (за счёт активизации большего числа задающих источников) увеличить длительность сигнала сначала в два (N = 9), а затем в четыре раза (N = 17). В каждом случае детально зарисовать осциллограмму сигнала, полученного в результате восстановления, а также спектр амплитуд сигнала на входе фильтра. Обратить внимание на то, что при увеличении числа отсчётов до N = 9 и N = 17 требуется рассчитать заново все 9 и соответственно 17 отсчётов по формулам табл. 46 (результаты расчёта целесообразно отразить в отчёте; они будут использованы в следующих пунктах экспериментальных исследований). Прокомментировать результаты.
166
Оценить степень улучшения формы восстанавливаемого фильтром сигнала при увеличении его длительности за счёт увеличения числа отсчётов, но сохранения неизменным временного интервала между ними. Сделать выводы, опираясь на временной и частотный анализ.
12.4.3. Исследование влияния частоты следования отсчётов на качество восстановления сигнала (при фиксированной длительности)
Подготовить виртуальную установку к исследованиям.
Восстановить настройки стенда, использовавшиеся в начале предыдущего пункта исследований (частота дискретизации — 8 кГц, сигнал из табл. 45 сформирован пятью первыми по счёту импульсами). Воспроизвести осциллограмму синтезированного LC-фильтром непрерывного сигнала по пяти дискретным отсчётам при частоте следования отсчетов 8 кГц.
Увеличить число формирующих сигнал отсчётов (за счёт использования всё бо́льшего числа задающих источников лабораторного стенда) до N = 9, одновременно увеличить частоту следования отсчётных импульсов до значения F = 16 кГц, тем самым добиться уменьшения временно́го интервала между отсчётами сигнала в два раза, сохранив таким образом без изменения общую длительность формируемого дискретизированного сигнала. Зафиксировать осциллограмму сигнала, наблюдаемого на выходе LC-фильтра. Сравнить её с исходной. Сделать выводы. Получить амплитудный спектр дискретизированного сигнала и объяснить его изменения по сравнению с предыдущей ситуацией.
Увеличить число формирующих сигнал дискретных отсчётов до N = 17, параллельно увеличить частоту следования отсчетов до F = 32 кГц, т.е. обеспечить уменьшение интервала дискретизации при сохранении исходной длительности сигнала. Зафиксировать спектр амплитуд дискретизированного сигнала и осциллограмму сигнала на выходе восстанавливающего LC-фильтра.
На основе полученных осциллограмм оценить степень улучшения формы восстанавливаемого сигнала при увеличении числа отсчётов, но сохранении длительности сигнала.
Сопоставить результаты данного пункта исследований с результатами предыдущего. Сделать вывод о том, что же выгоднее для заметного улучшения формы восстанавливаемого сигнала: увеличивать число отсчётов в сигнале за счёт повышения частоты дискретизации или за счёт увеличения длительности сигнала. Аргументировать выводы с частотных позиций.
12.4.4. Исследование влияния длительности отсчётов на качество восстановления сигнала
Восстановить настройки стенда, использовавшиеся в начале предыдущего пункта исследований. Воспроизвести осциллограмму синтезированного LC-
167
фильтром непрерывного сигнала по пяти дискретным отсчётам при частоте следования отсчётов F = 8 кГц. Убедиться в том, что качество восстановленного сигнала вполне удовлетворительное. Зарисовать осциллограмму выходного сигнала фильтра. Увеличить длительность отсчётных импульсов с 4 до 99 % от величины интервала дискретизации (параметр «Duty cycle» на панели «Function Generator»). Зарисовать осциллограмму восстановленного сигнала. Сопоставить её с предыдущей. Сделать вывод.
Установить длительность отсчётных импульсов, равной 4 % от величины интервала дискретизации, а частоту дискретизации — 4 кГц. Зарисовать осциллограмму сигнала, восстановленного фильтром. Получить амплитудный спектр сигнала на входе фильтра. Объяснить причину неудовлетворительного качества восстановления.
Увеличить длительность отсчетных импульсов до 99 % от величины интервала дискретизации. Зарисовать осциллограмму восстановленного фильтром сигнала. Сопоставить её с предыдущей. Получить амплитудный спектр дискретизированного сигнала на входе фильтра, сравнить его со случаем импульсов малой длительности. Объяснить причину улучшения качества восстановления сигнала.
Повторить исследования для случая восстановления сигнала по девяти отсчётам при тех же значениях частоты F и разной длительности отсчётных импульсов.
Сделать вывод о влиянии длительности отсчётных импульсов на качество восстанавливаемого сигнала при разных значениях частоты дискретизации сигнала.
Контрольные вопросы к защите работы
1.Что представляет собой дискретизированный сигнал? Почему каждый отсчёт идеализированного дискретизированного сигнала взвешен с дельтафункцией? Как выглядит спектр дискретизированного сигнала? Чем он отличается от спектра исходного непрерывного сигнала?
2.Сформулировать теорему Котельникова применительно к дискретизации и восстановлению видеосигналов? Почему частоту дискретизации сигнала следует выбирать по теореме Котельникова? Ответ аргументировать с частотных позиций. Чем следует восстанавливать непрерывный видеосигнал? Каковы должны быть характеристики такого устройства?
3.Почему при практическом использовании теоремы Котельникова возникают погрешности? Указать все возможные причины погрешностей, охарактеризовать каждую в отдельности. Указать способы уменьшения этих погрешностей. Ответ аргументировать с частотных позиций.
168
4.Почему с увеличением длительности дискретизированного сигнала при неизменной частоте дискретизации и правильном выборе частоты среза восстанавливающего фильтра погрешность восстановления уменьшается? Как это согласуется с данными, полученными в лабораторной работе?
5.Почему при фиксированной частоте среза восстанавливающего фильтра
инеизменном количестве отсчётов в составе дискретизированного сигнала увеличение частоты следования отсчётов может приводить сначала к уменьшению погрешности восстановления, а затем к её росту?
6.Чем отличаются спектры идеализированного и реального (с конечной длительностью отсчётов) дискретизированных сигналов? Как влияет конечная длительность отсчётных импульсов на погрешность восстановления непрерывного сигнала? При каких условиях увеличение длительности отсчётов приводит к улучшению качества восстановления, при каких — к снижению?
7.Изобразить спектры двух дискретизированных сигналов, характеризующихся одинаковой формой исходных непрерывных сигналов, равной длительностью, но существенно отличающимися интервалами между отсчётами. Для какого из этих сигналов качество восстановления будет выше, если их подать на одинаковый восстанавливающий фильтр?
8.Можно ли с помощью реального фильтра восстановить абсолютно точно (без какой-либо погрешности) непрерывный сигнал, уменьшая сколь угодно интервал между отсчётами дискретизированного сигнала? Увеличивая сколь угодно его длительность?
9.При заданных параметрах восстанавливающего фильтра требуется повысить точность восстановления сигнала. Что разумнее сделать: уменьшить интервал между отсчётами, сохранив длительность сигнала, или увеличить длительность при неизменной частоте отсчётов?
Литература: |
[1, с. 188-202], |
|
[2, с. 87-97], |
|
[3, с. 122-126; 382-388]. |
169