Материал: Руководство к проведению практических занятий по курсу «Математика» во втором семестре. Бырдин А.П., Сидоренко А.А

6.11.Ф : y 2 43x , x 3, OX.

6.12. Ф : y 2x x2 , y 0, OX.

6.13.Ф : y x2 , y 1, x 2, OX.

6.14.Ф : x 7 cos3 t, y 7sin3 t, OY.

Ф: x2 y 2 1, OX. 16 1

6.16.Ф : x3 ( y 1)2 , x 0, y 0, OX.

6.17.Ф : xy 4, 2x y 6 0, OX.

6.21.Ф : y2 (x 4)3 , x 0, OX.

6.22.Ф : y x3, x 0, y 8, OY.

6.26. Ф : y 2 2 , x y 2, OY.

6.27.Ф : x 6(t sin t), y 6(1 cos t), OX.

6.29.Ф : y2 x, x2 y, OX.

6.30.Ф : y2 (x 1)3 , x 2, OX.

85

5. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Литература: [1, гл. 8, §§ 1 17].

5.1. Понятие функции двух переменных

Говорят, что определена функция z = f (x,y) двух переменных х,у , если каждой паре значений независимых переменных (аргументов) х,у из области D по некоторому закону f ставится в соответствие определенное значение переменной z из множества Z. Область D называется областью определения функции z, а множество Z - множеством значений функции. Поскольку каждой паре чисел х,у на плоскости Оху можно поставить в соответствие точку М (х,у), то функцию двух перемен-

z f M из неко-

торой области D плоскости Оху .

Геометрической интерпретацией функции двух переменных является поверхность (рис. 7), аппликата каждой точки которой вычисляется по закону z =f(х,у). Например, для функ-

ции z 1 x2 y2 геометрическим образом является верхняя полусфера. Область определения данной функции определяется неравенством 1 x2 y 2 0 или x 2 y 2 1.

Z= f (x,y) z

P (x1,y1,z1)

y

y

x

M

x

Рис. 7 86

Существует еще один способ изображения функции двух переменных, основанный на построении сечений поверхности z = f (х,у) плоскостями z c , где с - любое число. Линией уровня называется множество точек плоскости Оху, в которых функция принимает одно и то же значение с. Множество линий уровня дает представление о поверхности подобно тому, как в картографии линии уровня описывают рельеф местности.

5.2. Частные производные и частные дифференциалы первого порядка

Пусть функция z =f (х, у) определена и непрерывна в точке М0(х0, у0) и ее некоторой окрестности. Зафиксируем значение у = у0, а переменная х пусть испытает приращение х. При этом переместимся из точки M0 x0 , y0 в точку M1 x0 x, y0 .

Получим функцию одной переменной z =f (х, у0). Разность

x z f x0 x, y0 f x0 , y0 называется частным приращением функции z по переменной х.

Частной производной функции z по переменной х в точке

В определении частной производной по переменной x переменная у фиксирована, а х изменяется.

При перемещении из точки М0(х0,у0) в точку М2(х0,у0+ у) получим частное приращение функции z по переменной y

y z f x0 , y0 y f x0 , y0 .

Частной производной функции z по переменной y в

точке М0 (х0, у0) называется предел отношения y z при y 0y

87

ную скорость изменения функции z в точке М0 (х0, у0) в направлении координатных осей Ох и Оу.

При вычислении частных производных остаются в силе правила дифференцирования функции одной переменной, а также таблица производных, если другие аргументы считаются постоянными величинами.

z

ждении y переменная x считается константой.

Пример. Найти частные производные функции z ln(x2 y y3 ) .

Рассмотрим геометрический смысл частных производ-

ных функции двух переменных. Пусть уравнение z =f(х, у) есть уравнение поверхности, изображенной на рис. 8.

Проведем плоскость х= х0. В сечении этой плоскостью поверхности получается линия L2. При данном х0 рассмотрим на плоскости точку М0. На поверхности ей соответствует точка

Р. Частная производная z равна тангенсу угла, образованно-

y

88

го касательной к кривой L2 в точке М с положительным на-

Рис. 8

5.3.Полное приращение функции

иполный дифференциал

Пусть функция двух переменных f(x,у) определена и непрерывна в точке М0(х0 ,у0) и ее окрестности. Если переменные x и y изменились, приняв значения x x0 x и у=у0+ у, то

функция f(x,у) испытала полное приращение z=f(М) - f(М0) = =f(x0+ x, у0+ у) - f(x0, у0), соответствующее

перемещению из точки в точку М(х ,у). 89