Материал: Руководство к проведению практических занятий по курсу «Математика» во втором семестре. Бырдин А.П., Сидоренко А.А

Функция z=f(x,у) называется дифференцируемой в точке М0 (х0,у0), если полное приращение функции представимо в

жение x y является бесконечно малой величиной более высокого порядка малости по сравнению с x и y , а частные

производные функции являются непрерывными функциями в некоторой окрестности точки М0(х0 ,у0).

Линейная по x и y часть полного приращения функ-

ции f (x, у) называется полным дифференциалом функции f(x,у) в точке М0 (х0,у0) и обозначается dz:

dz= f x (x0 , y0 ) х+ f y (x0 , y0 ) у или

Если функция f(x,у) дифференцируема в точке М0, то она непрерывна в этой точке.

Во многих задачах при изучении поведения функции в данной точке пространства наибольший интерес представляет

вопрос о направлении быстрейшего возрастания функции в точке. Это направление задаётся специальным вектором – градиентом.

Пусть функция u=f(x,y,z) имеет в точке M(x,y,z) непрерывные частные производные. Тогда из точки M(x,y,z) можно построить вектор, координатами которого являются частные производные функции в этой точке. Такой вектор называется градиентом функции в точке M(x,y,z)

Аналогично определяется градиент функции двух переменных u=f(x,y). Это – вектор на плоскости Oxy

Пример. Найти градиент функции u x2 y2 в точке

М1 (2,1).

Решение: grad u 2xi 2yj , grad u M1 4i 2 j .

Вектор grad z указывает направление наибыстрейшего роста функции z f x, y в данной точке, а его модуль ха-

рактеризует наибольшую скорость возрастания функции в этой точке.

5.5. Частные производные и дифференциалы высших порядков

вые функции двух переменных х и у. Их можно снова дифференцировать по этим переменным.

Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго поряд-

ными производными второго порядка. Смешанные производные второго порядка, вычисленные с помощью различной последовательности дифференцирования по переменным x и y ,