Материал: Руководство к проведению практических занятий по курсу «Математика» во втором семестре. Бырдин А.П., Сидоренко А.А

Задачи для самостоятельного решения

Найти частные производные от функций:

1. z x2 y3 x3 y.

2. z

x y

.

3. z

xy

.

x y

x y

4.

z x2 sin y.

5.

z e xy .

6.

z xye x 2 y .

7.

z e y / x .

y

.

z xe yx .

8.

z ln(x ln y).

9.

z x

y

10.

3 x

x

z

y

z

1

.

11.

z ln( x

y ); доказать, что

x

y

2

z

sin

y

; доказать, что

x

z

y

z

z

.

12.

x

x

y

x

2

13.

z x2 xy 2 ,

x e2t ,

y sin t;

найти

dz

.

dt

14.

z arctg

x 1

, y e(1 x) 2 ;

найти

dz

.

y

dx

z

x2

y v 2u; найти

z

z

15.

, x u 2v ,

,

.

u

v

y

16.

z x

2 y2 , x u v,

y

u

;

найти

z

,

z

.

v

u

v

Найти полный дифференциал:

17.

z sin xy 2.

18. z ln(x 5y 2 ).

19.

z y x .

20. Найти производную по направлению биссектрисы

первого

координатного

угла

в

точке

М(1,

1)

функции

z x2 y2 в точке М(1,1). Рассмотреть

случаи, когда направ-

ление составляет с осью Ох угол:

1) / 3 , 2) / 6 , 3) / 2.

23. Найти производную функции u x2 2xz y2

в точ-

ке М(1,2,1) по направлению вектора MM1 , где M1 точка с

координатами (2,4,3).

24. Найти производную функции

u

x2

y2

z 2

в точ-

4

9

нием вектора

a 4i 3

.

j

Найти grad z:

25.

z 4 x2

y2 в точке М(1,2).

26.

z

xy

в точке М(0,3).

x2 y

2 1

27.

z (x y)2 в точке М(1,1).

31. u

x2 y2 z2 в точке М( 1, 2, 0).

33. z

x2

. 34.

z sin x cos y.

35. z x y

xy

.

1

2 y

x y

101

Проверить, что

2 z

2 z

для функций:

x y

y x

37.

z

x2

. 38.

z ln(x 2y).

39.

z

x2

.

40.

z arctg

y

.

y 2

1 y

x

41.

z ex cos y. Показать, что

2 z

2 z 0.

x2

y2

Найти экстремумы функций:

42.

z x2

y2

xy 4x 5y.

43.

z y2

x2 xy 2x 6y.

z xy(1 x y).

z y

y2

x 6 y.

44.

45.

x

46.

z ex / 2 (x y2 ).

47.

z x3 y3 3xy.

48.

z 3x 6 y x2 xy y2.

49.

z x3 8y3 6xy 1.

50.

z 2xy 4x 2y.

51.

z 2x3 xy2 5x2 y2.

52.

z sin x sin y sin(x y),

0 x / 2,

0 y / 2.

Ответы

1.

z

2xy 3 3x2 y;

z

3x2 y 2 x3 .

x

y

2.

z

2 y

;

z

2x

.

x

x y 2

y

x y 2

3.

z

y 2

;

z

x2

.

4.

z

2x sin y;

z

x2 cos y.

x

x

y 2

y

x y

2

x

y

5.

z

ye xy ;

z

xe xy .

x

y

6.

z

ye x 2 y

xye x 2 y ;

z

xe x 2 y 2xye x 2 y .

x

y

102