Материал: Руководство к проведению практических занятий по курсу «Математика» во втором семестре. Бырдин А.П., Сидоренко А.А

получим

e Pdx

du

Q(x)

или

du

Q(x)

, откуда

dx

dx

e Pdx

e PdxQ x dx C .

y e Pdx

Пример. Решить уравнение

dy

2

y (x 1)3 .

dx

x 1

Решение. Пусть y=uv, тогда

dy

u

dv

v

du

.

dx

dx

dx

Подставляя выражение

dy

в исходное уравнение, получим

dx

u

dv

v

du

2

uv (x 1)3 .

1

dx

dx

x

dv

2

v

du

(x 1)

3

u

v

.

(6.8)

dx

x

1

dx

Для определения v получим уравнение

dv

2

v 0

, т.е.

dx

x 1

dv

2dx

, откуда

2 ln

x 1

или

v (x 1)2 .

Подставляя

ln

v

v

x 1

ления u уравнение x 1 2

du

(x 1)3 , или

du

(x 1) ,

dx

dx

откуда u

(x 1)

2

C . Следовательно, общий интеграл задан-

2

ного уравнения будет иметь вид

y

(x 1)4

C(x 1)2 .

2

110

уравнения

y ytgx cos2 x ,

удовлетворяющее начальному ус-

ловию у(0) =1.

Решение. Положим y=uv, тогда

dy

u

dv

v

du

.

dx

dx

dx

dv

du

2

u

vtgx

v

cos

x . Определим v так, чтобы выра-

dx

dx

переменные,

получим

dv

sin x

dx , интегрируя уравнение,

v

cos x

найдем ln

v

ln

cos x

или v cos x

Для определения u имеем уравнение

du

du

u cos xdx sin x C .

cos x

cos2

x ,

cos x ;

dx

dx

dy

P(x) y Q(x) y m ,

(6.9)

dx

В результате уравнение

(6.9) преобразуется к виду

1

z P(x)z Q(x) , то есть

к линейному относительно

1 m

функции z(x) уравнению.

111

y 4 . Получим

y

1

x 2 . Введем замену

z x y 3 , тогда

y 4

xy 3

z x 3y 4 y .

Тогда

z

z

x 2

- линейное уравнение.

3

x

Введем

замену

z

=

u

(x)

v

(x),

dz

u

dv

v

du

.

Тогда

dx

dx

dx

dv

du

3uv

2

du

dv

3v

2

u

v

3x

. Отсюда v

u

3x

;

dx

dx

x

dx

dx

x

dv

3v

;

dv

3dx

.

Интегрируя

уравнение,

имеем

dx

x

v

x

ln

v

3ln

x

или

v x3 . Для определения u имеем уравнение

x3

du

3x2

или

du

3 .

Тогда

u 3ln

x

C

и

dx

dx

x

z x x3 3ln

x

C .

Сделав

обратную

замену,

имеем

y

1

.

C

x 3

ln

3

x

y0 4 при x0

2.

1.

xy y 0.

2. xy y 0.

3. yy x 0.

4.

y y.

Найти общие решения уравнений:

5.

x2 y y 0.

6. x xy y y xy 0.

7. (1 y2 )dx (1 x2 )dy

8. y xy 1 x2 y .

9.

(xy 2 x)dx ( y x2 y)dy 0.

10. 1 2y xdx (1 x2 )dy 0.

11. xy(1 x2 ) y 1 y 2 .

12. e y (1 x2 )dy 2x(1 e y )dx 0.

16. (1 e x ) yy e x , y

0

1 при x

0

0.

y 2

y0 1 при

x0 e.

17.

y ln x,

18.

xy

y

, y

1 при

x

e.

0

0

ln x

21.

(1 y2 )dx xydy 0,

y

0

1

при x

0

2.

22.

2 ydx dy,

y0 1 при x0

0.

113

23. 2x 1 dy y 2dx 0,

y

0

1при x

0

4.

Найти общие решения уравнений:

24. y y e x . 25. y x y.

26. y x2 y x2 . 27. xy y 3.

28.

xy y e x .

29.

y

3y

x.

30. y 2xy 2xe x2 .

x

31.

y

1 2x

y 1.

32.

y y cos x.

x2

33.

y cos x y sin x sin 2x.

34. xy y ln x 1.

35. y

2 y

e x2

.

36. y y tg x ctg x.

x

x

37. y y cos x sin 2x.

38. xy 2 y x2 .

Решить уравнения Бернулли:

40. y x y xy 2 .

41. y xy y3e x2 .

42. y y xy 3.

43. y x3 y3 xy.

44. x2 y y 2

xy.

45. xy y y 2 ln x.

46. y xy xy 3.

47. xy 2 y x5 y 2 .

Ответы

1. y = Cx, y = 2x. 2.

xy = C, xy = 8.

3. x2 y 2 C.2

x2 y 2 20. 4.

y Ce x , y 4e x 2. .

5.

y Ce1/ x. .

6. x y ln C(x 1)( y 1).

7. y

C x

.

8. y 1

Cx

.

1 Cx.

1 x

9. 1 y 2 C(1 x2 ) . 10.

y

C

1

.

x2 )

2(1

2

114