Материал: Руководство к проведению практических занятий по курсу «Математика» во втором семестре. Бырдин А.П., Сидоренко А.А

б) если + i является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения (6.23) следует искать в виде

y xe x [U (x) cos x V (x) sin x].

Следует отметить, что указанные формы частных реше-

Рассмотрим важный частный случай. Пусть правая часть линейного уравнения второго порядка имеет вид:

f (x) M cos x N sin x ,

где M и N – постоянные числа.

а) Если i не является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения (6.23) следует искать в виде y Acos x B sin x .

б) если i является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения (6.23) следует искать в ви-

де y x[ Acos x B sin x] .

Пример. Найти общее решение линейного неоднородно-

го уравнения

y 2 y 5y 2 cos x.

Решение. Общее решение будет иметь вид y y y .

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Составим характеристическое уравнение и найдем его

уравнения, частное решение будем искать в форме

130

y Acos x B sin x ,

где А и В – постоянные коэффициенты, подлежащие определению.

Найдем производные y :

y Asin x B cos x, y Acos x B sin x.

Подставляя выражения y и производных в заданное

уравнение, будем иметь

Acos x B sin x 2( Asin x B cos x) 5(cos x B sin x) 2 cos x

Пример. Найти общее решение линейного неоднородно-

го уравнения

y 4 y cos2x.

Решение. Общее решение будет иметь вид y y y .

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Составим характеристическое уравнение и найдем

Правая часть данного неоднородного уравнения cos2x , очевидно, что i =2 i является корнем характеристического уравнения, частное решение будем искать в форме

131

y x( Acos x B sin x),

где А и В – постоянные коэффициенты, подлежащие определению. Найдем производные y :

y 2x( Asin 2x B cos2x) ( Acos2x B sin 2x),

yC1 cos2x C2 sin 2x + 14 x sin x .

6.3.Линейные системы дифференциальных уравнений

спостоянными коэффициентами

Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных, называ-

ется нормальной системой и имеет вид

Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений являются линейными функциями относительно

132

x1, x2 , , xn ( неизвестные функции переменной t), то система

называется линейной.

Рассмотрим случай, когда такую систему дифференциальных уравнений можно свести к одному дифференциальному уравнению n-го порядка, содержащему одну неизвестную функцию путем дифференцирования одного из уравнений системы и исключением всех неизвестных. Такой метод называется методом исключения.

Пример. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

уравнение из системы дифференциальных уравнений, имеем x 2x x . Таким образом, получили x 2x x 0 одно-

родное дифференциальное уравнение второго порядка. Составляя и решая для него характеристическое уравнение, име-

Задачи для самостоятельного решения /6, №№ 4155-4162, 4163, 4167-4175/. /6, №№ 4268-4278/.

133

7. (1 x2 ) y ( y )2 1 0 . 8. yy 2 y 2 0 . 9. y (2y 3) 2y 2 0 .