Материал: Руководство к проведению практических занятий по курсу «Математика» во втором семестре. Бырдин А.П., Сидоренко А.А

Важным частным случаем решения (6.22) является случай, когда корни характеристического уравнения мнимые. Это имеет место, когда в уравнении (6.18) р=0, и оно имеет вид y qy 0 .

Корни характеристического уравнения k1,2 iq i .

го условия получим 1=2 С2, т.е. С2=1/2. Таким образом, искомое частное решение имеет вид

y 12 e x sin 2x .

Тогда на основании начальных условий будем иметь систему уравнений для определения С1, С2. Доказано, что получаемая система всегда имеет решение.

6.2.4.Неоднородные линейные уравнения второго порядка

спостоянными коэффициентами

Пусть имеем уравнение

где f ( x) 0, p и q - действительные числа.

125

Рассмотрим случаи, в которых правая часть уравнения имеет специальный вид, при котором можно обойтись без интегрирования.

Общее решение неоднородного уравнения представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения у* и общего решения y соответствующего однородного урав-

где у1 и у2 – линейно независимые решения уравнения (6.18), а С1 , С2 – произвольные постоянные, можем записать равенство

(6.24) в виде

у =С1 у1 + С2 у2 + у*.

Рассмотрим возможные случаи вида функции f ( x) .

1. Пусть правая часть уравнения (6.23) представляет собой произведение показательной функции на многочлен, т.е. имеет вид

где Pn ( x) - многочлен n –й степени. Тогда возможны случаи: а) Число не является корнем характеристического

уравнения k 2 pk q 0.

В этом случае частное решение нужно искать в виде

n – 1, Qn ( x) - многочлен степени n – 2. Таким образом, слева и

справа от знака равенства стоят многочлены n-й степени. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим

126

систему n+1 уравнений для определения неизвестных коэффициентов A0 , A1 , A2 ,..., An .

б) Число есть простой корень характеристического уравнения.

В рассматриваемом случае частное решение нужно искать в виде

y xQn (x)e x .

в) Число есть двукратный корень характеристического уравнения.

Частное решение ищем в форме

y x 2Qn (x)e x .

Пример. Найти общее решение уравнения. y 4y 3y x.

Решение. Общее решение данного уравнения будем искать в виде y y y .

Составим характеристическое уравнение и найдем его

нем характеристического уравнения, то частное решение бу-

Подставляя это выражение в заданное уравнение, будем иметь

4A0 3( A0 x A1 ) x .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х,

Пример. Найти общее решение уравнения. y 9 y (x 2 1)e3x .

Решение. Общее решение будет иметь вид y y y .

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Составим характеристическое уравнение и найдем

(x 2 1)e3x имеет вид P2 (x)e3x . Так как коэффициент 3 в показателе степени не является корнем характеристического урав-

Пример. Найти общее решение уравнения. y 7 y 6 y (x 2)e x .

Решение. Общее решение будет иметь вид y y y .

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Составим характеристическое уравнение и найдем

128

Правая часть данного неоднородного уравнения (x 2)e x имеет вид P1 (x)e1x . Так как коэффициент 1 в показателе степени является простым корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в форме y x( Ax B)e x . Подставляя это выражение в заданное уравнение, будем иметь

[(Ax 2 Bx) (4Ax 2B) 2A 7( Ax 2 Bx) 7(2Ax B) 6( Ax 2 Bx)]e x

(x 2)e x

или ( 10Ax 5B 2A)e x (x 2)e x . Сокращая на e x и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим

Общее решение y y y будет

ния определяется следующим образом:

а) если + i не является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения (6.23) следует искать в виде

y e x U (x) cos x V (x) sin x ,

где U(x), V (x) - многочлены, степень которых равна наивысшей степени многочленов P(x), Q(x) ;

129