Материал: Руководство к проведению практических занятий по курсу «Математика» во втором семестре. Бырдин А.П., Сидоренко А.А

Подставляя это значение в соотношение (6.14), получим дифференциальное уравнение первого порядка для функции

Решение. Положим y p y . Тогда y dpdy p. Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получим уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции р

Окончательно получим

6.2.2. Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства

Определение. Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относи-

тельно искомой функции у и ее производных (n) , т.е. имеет вид

ные, причем a0 0 для всех значений х из той области, в которой рассматривается уравнение (6.15). Будем предполагать, что функции a0 , a1 ,...,an и f ( x) непрерывны при всех значениях х, причем коэффициент a0 1 (если он не равен 1, все члены уравнения надо поделить на него). Функция f ( x) ,

стоящая в правой части уравнения, называется правой частью уравнения.

Если f ( x) 0, то уравнение называется линейным неод-

и называется линейным однородным или уравнением без правой части.

Установим некоторые основные свойства линейных однородных уравнений, ограничиваясь уравнениями второго порядка.

121

1. Если у1 и у2 – два частных решения линейного однородного уравнения второго порядка

y a1 y a2 y 0 , (6.17)

то у1 + у2 есть также решение этого уравнения.

2. Если у1 есть решение линейного однородного уравнения второго порядка (6.17) и С – постоянная, то Су1 есть также решение этого уравнения.

Определение. Два решения уравнения (6.17) у1 и у2 называются линейно независимыми на отрезке а,b , если их отношение на этом отрезке не является постоянным, т.е. если

y1 const . В противном случае решения называются линейно y2

зависимыми.

3. Если у1 и у2 – два линейно независимых решения уравнения (6.17), то

у=С1 у1 + С2 у2,

где С1 и С2 – произвольные постоянные, есть общее решение этого уравнения.

6.2.3.Линейные однородные уравнения второго порядка

спостоянными коэффициентами

Пусть имеем линейное однородное уравнение второго

где p и q – постоянные действительные числа. Чтобы найти общий интеграл этого уравнения достаточно найти два линейно независимых частных решения.

Будем искать частные решения в виде y ekx , где k = const;

Тогда y kekx ; y k 2ekx.

Подставляя полученные выражения производных в уравнение (6.18), имеем ekx (k 2 pk q) 0.

122

Следовательно, если k будет удовлетворять уравнению (6.19), то e kx будет частным решением уравнения (6.18). Урав-

нение (6.19) называется характеристическим уравнением по отношению к уравнению (6.18). Характеристическое уравнение есть квадратное уравнение, имеющее два корня; обозна-

Возможны следующие случаи:

1.k1 и k2 – действительные и притом не равные между собой числа;

2.k1 и k2 – действительные равные числа;

3.k1 и k2 – комплексные числа.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1. Корни характеристического уравнения действитель-

2. Корни характеристического уравнения действитель-

ные и равные. В этом случае k1= k2.

Одно частное решение y1 ek1x . Необходимо найти второе частное решение линейно независимое с первым (функция

Поэтому общим решением будет функция

3. Корни характеристического уравнения комплексные.

Пусть характеристическое уравнение имеет комплексные корни k1,2 i , тогда общее решение уравнения (6.18)

имеет вид

где С1 и С2 - произвольные постоянные.

124