Материал: Руководство к проведению практических занятий по курсу «Математика» во втором семестре. Бырдин А.П., Сидоренко А.А

2.7. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей. Интегрирование правильных рациональных дробей

Пусть имеется правильная дробно-рациональная функ-

ция:

(2.2)

(m>n) и знаменатель её разложен на действительные множители:

Qm x am x x1 k x x2 l ... x2 p1x q1 s x2 p2 x q2 p ...

Тогда дробь (2.2) можно представить и притом единственным образом в виде следующей суммы простейших дро-

- некоторые коэффициенты.

Число простейших дробей, соответствующих каждому множителю знаменателя, равно кратности соответствующего корня.

20

x 2

Пример. Вычислить интеграл dx . (x 2)2 (x 1)

Подынтегральная функция представляет собой рациональную дробь. Разложим ее на сумму простейших дробей:

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю и приравняем числители.

B C x 2 A B 4C x A 2B 4C x 2.

Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые степени и коэффициенты при одинаковых степенях равны. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, имеем

A 43 .

Подставим найденные коэффициенты в разложение

Окончательно получим:

21

Однако пользоваться универсальной тригонометрической подстановкой не всегда целесообразно, так как часто она приводит к громоздким выкладкам. Поэтому в некоторых частных случаях используют другие подстановки.

II. Частные случаи интегрирования тригонометрических выражений.

1) Если интеграл имеет вид R sin x cos xdx , то подста-

новка sinx=t; cosxdx=dt приводит этот интеграл к виду

R t dt.

2) Если интеграл имеет вид R cos x sin xdx , то подста-

новка cosx = t, sin x dx= dt приводит интеграл к интегралу от рациональной функции.

интегралу от рациональной функции.

24