Материал: Симметрические уравнения
|
§ 2. Симметрия относительно выражений |
|
|
|
51 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
102. 11 − 3 = 3, |
103. |
2 + 3 = 43, |
104. |
5 − 4 = 5, |
|||||||||||
|
= 30. |
|
|
= 72. |
|
|
= 15. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
105. 3 + 4 = 2, |
|
106. |
− 7 = −1, |
107. |
2 + 5 = −2, |
||||||||||
|
= |
− |
4. |
|
|
= 6. |
|
|
|
= |
− |
12. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
108. 2 + 5 = 2, |
|
109. |
2 − 5 = 10, |
110. |
3 − = 8, |
||||||||||
|
= 5. |
|
|
|
= 2. |
|
|
|
|
= 2. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
111. 7 + 2 = 20, |
112. 3 − 2 = 3, |
113. |
2 + 6 = 13, |
||||||||||||
|
= |
− |
1. |
|
|
= |
− |
3. |
|
|
|
= 2. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
114. 2 − 9 = 5, |
115. 7 − 5 = −14, |
116. |
3 + 6 =−18, |
||||||||||||
|
= |
− |
2. |
|
= 1. |
|
|
|
|
|
= 3. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
117. |
+ = 5, |
|
118. |
+ = −3, |
|
|
|
5. |
|||||||
|
( + 2)( + 3) = 24. |
|
( |
− |
2)( + 1) = |
− |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
119. |
+ = 7, |
3) = 8. |
120. |
+ = 4, |
|
|
|
|
|
||||||
|
( + 2)( |
− |
|
( + 3)( + 3) = 24. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
121. |
+ = −7, |
|
122. + = 2, |
3) = |
|
|
12. |
||||||||
|
( |
− |
2)( + 2) = 12. |
|
( + 5)( |
− |
− |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
52 |
|
|
|
|
|
|
|
Теория, примеры и задачи |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
123. |
+ = 20, |
|
|
|
124. + = −12, |
|
|
|||||||||
|
|
( |
− |
8)( |
− |
2) = 16. |
( + 10)( + 6) = 4. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
125. |
+ = 5, |
|
|
|
126. |
+ = 7, |
3) = 2. |
|
||||||||
|
|
( + 1)( + 2) = 7. |
|
|
( |
− |
1)( |
− |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
127. |
+ = 2, |
2) = 5. |
|
128. |
+ = 8, |
|
|
|
||||||||
|
|
( + 3)( |
− |
|
|
( + 2)( + 4) = 2. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
129. |
+ = −6, |
|
|
|
130. |
+ = 1, |
6) = 2. |
|
||||||||
|
|
( |
− |
2)( + 5) = 3. |
|
|
( |
− |
5)( |
− |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
131. |
+ = 3, |
|
|
|
132. |
+ = 2, |
|
|
3. |
|||||||
|
|
( |
− |
5)( + 6) = 4. |
|
|
( + 1)( + 2) = |
− |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
133. |
2 + 3 = 8, |
|
|
134. |
5 − = 2, |
|
|
|
||||||||
|
|
( + 2)( + 1) = 9. |
|
|
( + 3)( |
− |
2) = 4. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
135. |
3 + 4 = −7, |
|
|
136. |
− 7 = 1, |
|
|
|
||||||||
|
|
( |
− |
5)( + 2) = |
− |
6. |
|
( |
− |
2)( |
− |
3) = |
|
12. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|||||
137. |
3 + = −2, |
|
|
138. |
2 − 5 = −1, |
|
|
|||||||||
|
|
( + 3)( |
− |
5) = |
− |
8. |
|
( + 3)( + 5) = 30. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
§ 2. Симметрия относительно выражений |
53 |
|
|
139. |
2 − 3 = 20, |
|
140. 3 + 5 = 2, |
|
|
||||||||||
|
( + 10)( + 5) = 2. |
|
( + 2)( |
|
− |
1) = 3. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
141. 7 − 5 = 3, |
|
142. |
2 − = −2, |
|
|
||||||||||
|
( |
− |
3)( + 5) = 5. |
|
( |
− |
1)( |
− |
1) = 5. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
143. |
+ = 4, |
|
144. |
+ = −2, |
|
|
14. |
||||||||
|
3 |
− |
8 + = 6. |
|
2 + + = |
− |
|||||||||
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
145. |
+ = 8, |
|
146. |
+ = −1, |
|
|
|
||||||||
|
|
7 + 3 + = 44. |
|
3 |
− |
8 |
− |
|
= 36. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
147. |
+ = 5, |
|
148. |
+ = −4, |
|
|
|
||||||||
|
|
5 + 2 + 2 = 28. |
|
3 + 5 |
− |
3 = 28. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
||
§ 3. Cистемы трех уравнений
3.1. Теория и примеры
50 70 Докажем теорему Виета для случая многочлена
3-й степени. Пусть многочлен представлен в виде
3 + 2 + + |
(4) |
и имеет вещественные корни 1, 2 и 3. Тогда его можно разложить в произведение линейных членов:
3 + 2 + + = ( − 1)( − 2)( − 3).
Раскроем скобки и приведем подобные:
( − 1)( − 2)( − 3) =
= 3 − ( 1 + 2 + 3) 2 + ( 1 2 + 1 3 + 2 3) − 1 2 3.
Приравняем коэффициенты при степенях :
|
|
1 + 2 + 3 = − , |
|
|
|
|
(5) |
1 2 + 1 3 + 2 3 = , |
|
1 2 3 = − . |
|
|
|
§ 3. Cистемы трех уравнений |
55 |
|
|
Теорема 5 (теорема Виета). Если 1, 2 и 3 – корни многочлена (4), то их сумма равна коэффициенту при 2 с противоположным знаком, сумма попарных произведений – коэффициенту при , а произведение 1 2 3 – свободному члену с противоположным знаком (5).
Теорема 6 (обратная теорема Виета). Если перемен- ные 1, 2 и 3 удовлетворяют условиям (5), то они являются корнями многочлена (4).
Определение 7. Многочлен ( , , ) от трех переменных
, и будем называть симметрическим, если в результате любых перестановок входящих в него переменных , и получается многочлен, тождественный исходному.
Например, ( , , ) ≡ ( , , ). Следует обратить внимание на то, что симметричностью многочлен обладает только относительно заданного набора переменных. Так, многочлен + симметричен относительно и , но несимметричен относительно , и .
Как и в случае двух переменных, симметрическими мо-
гут быть не только многочлены, но и другие выражения,
2 + 2 + 2 √ √ √
например: + + , 2 + 2 + 2 , 2 + 2 + 2 . Определение 8. Выражение ( , , ) от трех перемен-
ных , и будем называть симметрическим, если
в результате любых перестановок входящих в него