Материал: Симметрические уравнения
26 |
Теория, примеры и задачи |
|
|
В общем случае решить систему с параметром – значит для любого значения параметра найти все решения системы или установить отсутствие решений. Но условия конкретной задачи, как в следующем примере, могут быть менее жесткими.
Пример 15 (ЕГЭ, 2020). Найти все значения параметра , при каждом из которых система уравнений
4 + 2 = 2,
2 + = | + 1|
имеет ровно четыре решения.
Решение. Введем обозначение 2 = . Теперь систему можно записать в виде
+ = + 1 , |
|
+ = |
| |
+ 1 , |
|
|
|||||
2 + 2 |
=| 2; |
| |
( + )2 |
|
2 |= 2 |
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
2 | |
|
|
| |
2 |
|
|
| 1 |
| |
, |
|
+ = |
+ 1 , |
|
+ = + 1 |
|
|||||||
( + 1) |
− |
2 = ; |
= + 2 . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Поскольку каждому положительному значению соответствует два значения = ±√ , нам достаточно определить,
при каких значениях последняя система уравнений име-
§ 1. Системы двух уравнений |
27 |
|
|
ет два положительных решения. Эти решения будем искать как корни квадратного трехчлена 2 −| + 1|· + + 12 .
= 2 + 2 + 1 − 4 − 2 = 2 − 2 − 1 = ( − 1)( − 2), |
||||||||||
|
= 1 ± √ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
где 1,2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
1) При |
|
|
√ |
|
√ |
|
|
получим |
< 0 |
– трехчлен |
|
(1 − 2; 1 + 2) |
|
|
|||||||
не имеет вещественных корней;
√
2)при = 1± 2 трехчлен имеет два совпадающих корня;
√√
3) при (−∞; 1 − 2) (1 + 2; +∞) – два различных |
||||
корня 1,2 = |
| + 1|±√ |
2 − 2 − 1 |
. |
|
2 |
||||
|
|
|||
Осталось исключить случаи, когда один из корней отрицателен или равен нулю.
|
| + 1|+√ |
|
|
|
1 = |
2 − 2 − 1 |
всегда неотрицателен, а также |
||
2 |
||||
|
|
|||
не равен 0, так как выражения под модулем и под знаком
радикала одновременно в ноль не обращаются. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
| + 1|−√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 − 2 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
|
≤ |
0 |
| |
+ 1 |
2 |
− |
2 |
− |
1. |
||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|≤ |
|
|
|
|
|||||||||||
2 + 2 + 1 ≤ 2 − 2 − 1 ≤ −0, 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
√ |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−∞; 1 − 2) (1 + 2; +∞) (−∞; −0, 5] = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−0, 5; 1 − 2) (1 + 2; +∞). |
||||||||||||||||||||
Ответ: |
(−0, 5; 1 |
√ |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
− 2) (1 + 2; +∞) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
28 |
Теория, примеры и задачи |
|
|
Пример 16 (ЕГЭ, 2020). Найти все значения параметра , при каждом из которых система уравнений
( − + 2)( − + 3 ) = 0,
| |=
имеет ровно восемь решений.
Решение. Из второго уравнения следует, что ≥ 0. Рассмотрим случай = 0. Тогда из первого уравнения следует
= , а из второго = 0. Значит, при = 0 существует единственное решение: = = 0. Этот случай нас не интересует. В дальнейшем будем рассматривать только > 0. Введем замену переменной = − . Теперь систему можно переписать в виде
( + = −2 ) ( + = −3 ), |
где |
|
– логическое «или». |
||||
( = ) |
|
( = |
− |
), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, нам следует рассмотреть четыре случая:
1. |
+ = −2 , |
|
2 |
+ |
2 |
+ = 0, = 4 |
· |
1 − 3 |
. |
|||
|
2 |
|||||||||||
|
= . |
|
|
|
|
|
|
|||||
> 0 при |
|
(0; 1) |
– два решения; = 0 при = 1 – |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
§ 1. Системы двух уравнений |
|
|
29 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
одно решение. |
|
|
|
|
|
|
|
2. + = −3 , |
|
2 + 3 + = 0, = (9 |
− |
4). |
|
||
= . |
|
|
|
|
|
||
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
> 0 при ( |
9 ; +∞) – два решения; = 0 при = |
9 |
– |
||||
одно решение.
3. + = −2 ,
= − .
|
2 + |
2 |
|
− = 0, = 4 |
· |
1 + 3 |
|||
|
|
|
|
|
. |
||||
|
2 |
||||||||
> 0 |
при (0; +∞) – два решения. |
||||||
4. |
+ = −3 , |
|
2 + 3 |
− |
= 0, = (9 + 4). |
||
|
= |
. |
|
|
|||
|
|
|
− |
|
|
|
|
> 0 |
при |
(0; +∞) – два решения. |
|||||
Помним, что нас интересуют только положительные значения . В двух последних пунктах имеем в сумме четыре решения при всех из интервала (0; +∞). Остальные четыре принадлежат пересечению интервалов (0; 1)
и (49 ; +∞) из первых двух пунктов, на каждом из которых имеется два решения: (0; 1) ∩ (49 ; +∞) = (49 ; 1). Однако ре-
√
шения могут совпадать при 2 = 3 , т. е. при = ± 23 .
30 Теория, примеры и задачи
Отрицательный корень нас не интересует, а положитель-
чай. Система уравнений будет√ |
3 |
иметь ровно восемь реше- |
||||||||||
ный, как легко проверить, |
2 |
> 4 |
||||||||||
|
|
|
|
√ |
|
2 |
√ |
|
|
|
9 . Исключим этот слу- |
|
4 |
|
2 |
2 ) |
|
|
|
|
|||||
ний при |
|
(4 |
; |
|
|
( |
2 |
; 1). |
|
|||
|
|
|
9 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
Обычно графики√ |
строят√ |
в процессе работы над задачей. |
||||||||||
Ответ: (9 |
; |
|
3 ) |
( |
3 |
; 1). |
|
|
|
|||
В нашем случае обратимся к ним для анализа результатов. График первого уравнения распадается на две параллельные прямые, график второго – на две гиперболы. Решениям соответствуют точки пересечения прямых с гипербола-
ми. Как видно на рис. 3, при = 4 |
(левая граница интер- |
||||||||||
вала ( |
|
√ |
|
)) |
|
|
|
9 |
|||
9 ; |
3 |
|
4 |
|
2 |
|
|
= 3 (внут- |
|||
|
4 |
|
2 |
|
таких пересечений семь, при |
2 |
|||||
ри интервала |
( |
|
; √ |
|
)) – восемь пересечений. На рис. 4 |
||||||
9 |
3 |
||||||||||
Рис. 3. Графики к примеру 16: = 49 (слева); = 23 (справа)
при = |
√ |
3 |
(две прямые совпадают) – четыре точки, при |
|
|
2 |
|