Материал: Симметрические уравнения
§ 1. Системы двух уравнений |
31 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( √ |
|
; 1)) – восемь точек. На |
= |
9 |
|
32 |
||
10 |
(внутри интервала |
||||
Рис. 4. Графики к примеру 16: = |
√ |
3 |
(слева); = 10 (справа) |
|||||
|
|
2 |
|
|
|
9 |
|
|
|
( √ |
|
; 1)) – восемь |
|||||
рис. 5 при = 1 (граница интервала |
32 |
|||||||
точек пересечения, при = 43 (точка справа от 1) – четыре точки пересечения. При движении слева направо вдоль
Рис. 5. Графики к примеру 16: = 1 (слева); = 43 (справа)
вещественной оси одна прямая на графике поднимается
32 |
Теория, примеры и задачи |
|
|
вверх параллельно самой себе, а другая опускается вниз. Пример 17. Решить систему уравнений
| |+| |= 1,
2 + 2 = .
Решение. Из вида уравнений следует, что ≥ 0. Гра-
фик первого уравнения – квадрат, второго – окружность
√ √
радиусом (рис 6). Если радиус окружности меньше 22
Рис. 6. Графики к примеру 17
или больше 1, система не имеет решений. При радиусе,
√
равном 22 или 1, существуют четыре решения, а если зна-
§ 1. Системы двух уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
√ |
|
; 1 |
|
||||||||||||||||||||
чение радиуса принадлежит интервалу |
2 |
– восемь |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
решений, т. е. окружность пересекает |
|
|
2 |
|
) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
квадрат в восьми |
||||||||||
точках. Теперь перейдем к аналитическому решению. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| |
|+| |
|=21 |
|
|
|
|
|
| |
|+| | |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
( + |
) |
|
|
2 |
|
= ; |
|
|
= −2 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
| | | | |
|
|
− |
|
| || | |
|
|
| || | |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 − + |
1−2 |
= 0. |
= 2 − 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1. < 0 при < |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . Решений нет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2. = 0 при = |
21 | |= | |= |
21 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
> 0 |
при |
> |
1 |
1,2 = |
1± 2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
| |≥ |
2 |
2 . |
|
|
|
|
≥ |
|
|
|
|
|
≥ |
|
||||||||||||||||||||
Однако |
|
|
|
0, |
|
| |≥ |
|
0. Значит, ( 1 |
|
|
|
0)&( 2 |
|
0). |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
|
1 + |
|
|
|
2 − 1 |
|
≥ |
0 |
при любом |
|
допустимом |
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
√ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 − 2 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
= |
|
≥ |
0, когда |
2 |
− |
1 |
|
≤ |
|
1 |
|
|
≤ |
1. |
||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
= 1 1 |
= 0, |
|
2 |
= 1. Соответственно | |= 0, | |= 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
или | |= 1, | |= 0. При > 1 Решений нет. Теперь мы мо-
жем сформулировать ответ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Ответ: При (−∞; 21 ) (1; +∞) Решений нет; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
при = 21 |
– четыре решения: (21 ; 21 ), (21 ; −21 ), (−21 ; 21 ), (−21 ; −21 ); |
||||||||||||||||||||||||||
при ( |
21 ; 1) – восемь решений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
(±1 |
√ |
|
|
|
; |
± |
√ |
|
|
) (± |
√ |
|
|
; |
± |
|
|
√ |
|
|
|
) |
|
|
|||
√2 1 |
1+√ |
2 1 |
1+√2 1 |
1 |
|
√ |
2 1 |
|
|
||||||||||||||||||
1− |
2 −1 |
|
1+ 2 −1 , |
|
1+ 2 −1 |
|
1− |
2 −1 |
, |
|
|
||||||||||||||||
( |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
) |
( |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
− ; |
|
|
|
|
(1; 0) (0; 1) ( |
|
|
|
|||||||||||||||||
± − 2 |
2 |
− , |
± |
|
2 |
− |
; |
|
|
− |
2 |
− ; |
− |
|
|||||||||||||
при = 1 – четыре решения: |
|
|
|
|
, |
|
|
, |
|
− |
1; 0), (0; |
1). |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
34 |
Теория, примеры и задачи |
|
|
Следующее задание для тех, кто дружит с логарифмами. Пример 18 (вступительный экзамен, математический факультет ЛГПИ им. А. И. Герцена, 1979). Решить систему уравнений
= 20,
lg = 2.
Решение. ОДЗ: ( > 0)&( > 0). Возьмем логарифмы от
левых и правых частей уравнений.
lg + lg = 1 + lg 2, |
|
1. |
lg = 1, |
2. |
lg = lg 2, |
||
lg |
· |
lg = lg 2. |
|
lg = lg 2. |
|
lg = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 10, = 2 и = 2, = 10.
Ответ: (10; 2) и (2; 10).
Пример 19 (вступительный экзамен, математический факультет Московского областного педагогического института им. Н. К. Крупской, 1979). Решить систему уравнений
|
√ |
|
|
|
|
|
|
+ + |
|
+ = 20, |
|||||
2 + 2 |
= 136. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Обозначим √ + = , |
≥ |
0. Первое уравнение |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
примет вид 2 + − 20 = |
|
|
|
|
|
||
0 1 = −5, 2 = 4. Условию |
|||||||
§ 1. Системы двух уравнений |
|
|
35 |
||||
|
|||||||
≥ 0 удовлетворяет = 4. + = 2 = 16. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ = 16, |
+ = 16, |
|
|||||
2 |
+ 2 |
= 136; |
( + )2 |
− |
2 = 136; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ = 16, |
1. = 6, |
|
2. |
= 10, |
|||
= 60. |
|
= 10. |
|
= 6. |
|||
Ответ: |
|
и |
. |
|
|
|
|
(6; 10) |
|
(10; 6) |
|
|
|||
1.2. Задачи
7 41
1. |
+ = −7, |
2. |
+ = 3, |
3. |
+ = 8, |
||
|
= 10. |
|
= 2. |
|
= 12. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
+ = −3, |
5. |
+ = 3, |
6. |
+ = 1, |
||
|
= 2. |
|
= 4. |
|
= |
− |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
+ = −1, |
8. |
+ = −5, |
9. |
+ = 4, |
||||||
|
= |
− |
12. |
|
= |
− |
14. |
|
= |
− |
21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||