Материал: Симметрические уравнения

§ 2. Симметрия относительно выражений

2.1. Теория и примеры

35 50 Пусть ( ( , ), ( , )) – многочлен от двух выражений: ( , ) и ( , ).

Определение 5. Будем говорить, что многочлен( ( , ), ( , )) симметричен относительно выражений

( , ) и ( , ), если имеет место тождество

( ( , ), ( , )) ≡ ( ( , ), ( , )).

Заметим, что ( , ) и ( , ) в общем случае несиммет-

ричны, а значит, и ( ( , ), ( , )) в общем случае

не является симметрическим выражением от и .

Определение 6. Будем называть систему уравнений симметрической относительно ( , ) и ( , ), если все входящие в нее выражения симметричны относительно

( , ) и ( , ).

Пример 13.

2 − 3 = 5,

= 6.

Решение:

(2 ) + (−3 ) = 5,

2 − 5 − 36 = 0 1 = −4, 2 = 9.

(2 )(−3 ) = −36,

Ответ: (−2; −3), (92 ; 43 ).

Разберем решение. Левую и правую части второго уравнения мы умножили на 2 и на −3 и, таким образом, получили систему, симметричную относительно выражений (2 ) и (−3 ). Далее, опираясь на обратную теорему Виета, нашли значения этих выражений как корней некоторого квадратного уравнения, а затем и сами неизвестные.

Пример 14.

5 − 2 = 24,

= −1.

Решение:

приходилось решать такие системы методом подстановки, согласится, что у нас это получилось быстро и без особого напряжения.

Пример 15.

+ = 8,

( − 3)( + 1) = 8.

Решение:

Ответ: (5; 3), (7; 1).

Пример 16.

+ = 5,

( − 2)( + 4) = 3.

Решение:

Ответ: (73 ; 45 ), (−3; 4). Пример 18.

3 − 4 = 5,

( − 2)( − 3) = 2.

Решение:

Следующий прием основан на тождестве, доказательство