Материал: Справочник магнитного диска. Катрахова А.А., Купцов В.С

ФГБОУВПО «Воронежский государственный

технический университет »

СПРАВОЧНИК МАГНИТНОГО ДИСКА

(Кафедра высшей математики и

физико-математического моделирования)

методические указания

к практическим занятиям и типовым расчетам по дисциплине «Математика» для студентов специальностей 15.03.06 «Мехатроника и робототехника», 27.03.04 «Управление в технических системах» , 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника», 35.03.06 «Агроинженерия», очной формы обучения

Часть 1

Составители: А.А. Катрахова, В.С. Купцов, Г.Ф. Федотенко

Pakt- san 1 .docx 1,44 Mбайт 14.03.2015 уч.-изд. 3.8 л.

(название файла) (объем файла) (дата) (объем издания

ФГБОУВПО «Воронежский государственный

технический университет »

(Кафедра «высшей математики и физико-математического моделирования») методические указания

к практическим занятиям и типовым расчетам по дисциплине «Математика» к практическим занятиям и типовым расчетам по дисциплине «Математика» для студентов специальностей 15.03.06 «Мехатроника и робототехника», 27.03.04 «Управление в технических системах» , 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника», 35.03.06 «Агроинженерия», очной формы обучения

Часть 1

Составители: канд. физ.-мат. наук А.А. Катрахова, канд. физ.-мат. наук В.С. Купцов, ст. преп. Г.Ф. Федотенко

УДК 517

Методические указания к практическим занятиям и типовым расчетам по дисциплине «Математика» для студентов специальностей 15.03.06 «Мехатроника и робототехника», 27.03.04 «Управление в технических системах» , 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника», 35.03.06 «Агроинженерия», очной формы обучения. Ч. 1/ ФГБОУВПО Воронежский государственный технический университет»; cост. А.А. Катрахова, В.С. Купцов, Г.Ф. Федотенко. Воронеж, 2015. 66 с.

Методические указания для выполнения практических занятий и типовых расчетов содержат теоретический материал, рекомендуемую литературу по выполнению типовых расчетов, примеры решения задач типового расчета. Предназначены для студентов первого курса.

Методические указания подготовлены на магнитном

носителе в текстовом редакторе MS Word и содержатся

в файле «Pakt- san 1 .docx »

Ил. 11. Библиогр.: 12 назв.

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. М.В. Юрьева

Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов

Издается по решению редакционно-издательского совета

Воронежского государственного технического университета

© ФГБОУВПО «Воронежский государственный

т

Введение

Настоящие методические указания содержат теоретический материал, разбор и подробное решение некоторых практических задач и задач типового расчета по теме:“Математика”. Содержание методических указаний соответствует программе курса математики для студентов инженерно-технических специальностей вузов рассчитанной на 600 часов и утвержденной Министерством образования Российской Федерации в соответствии с новыми образовательными стандартами

1. Линейные пространства. Разложение векторов по базису

Известно, что множество всех векторов образует линейное пространство ( для векторов, элементов этого пространства определены операции: сложение и умножение на число. Количество координат вектора определяет размерность пространства. Доказано, что всякий вектор n-мерного линейного пространства можно единственным образом представить в виде линейной Rⁿ комбинации векторов, образующих базис,

, где – базис (в некоторых задачах иногда не будет ставится знак вектора над базисными векторами, но понимать надо, что они всегда являются векторами).

Базис – это совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства Rⁿ.

Заметим, что в n-мерном линейном пространстве существует бесконечно много различных базисов из n векторов. В следующих двух заданиях при решении задач надо уметь устанавливать линейную независимость или линейную зависимость векторов, и убедиться, что векторы, по которым требуется разложить данный вектор, образуют базис.

Пример. Написать разложение вектора по векторам , , .

Дано: =(-9,5,5), =(4,1,1), =(2,0,-3), =(-1,2,1). Требуется найти коэффициенты в разложении

Решение: Убедимся, что векторы , , образуют базис

в пространстве R³. Если они линейно независимы, тогда R³ можно представить в виде линейной комбинации этих векторов.

а) Рассмотрим в координатной форме: + + = .

Получим

, т.к. определитель этой линейной однородной системы: .

Однородная система имеет единственное нулевое решение

. Следовательно, , , – линейно независимы и образуют базис в R³.

б) Запишем разложение вектора по этому базису

имеем: + + =

Это векторное уравнение равносильно трем скалярным уравнениям:

Эта линейная неоднородная система (ЛНС) уравнений, у которой Δ =29 0, имеет единственное решение, которое находится по правилу Крамера:

, , . Вычисляем дополнительные определители

. Следовательно, , , .

Ответ: В базисе , , имеем разложение .

2. Решение систем линейных уравнений

Рассмотрим m линейных неоднородных уравнений с n неизвестными

(*)

Эту ЛНС уравнений можно записать в векторной форме AX=B, где заданы матрицы коэффициентов А, B.

и B матрица-столбец

(вектор свободных членов); , X- искомый n-мерный вектор неизвестных , которые требуется найти.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае система называется несовместной. Имеет место следующая теорема Кронекера - Капели: Для совместности системы (*) необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы равнялся рангу её расширенной матрицы: Rang A= Rang =r, где

-расширенная матрица.

Если r=n,то ЛНС(*) имеет единственное решение. Если r<n, то ЛНС(*) имеет бесконечное множество решений. Назовём r неизвестных, базисный минор из коэффициентов при которых отличен от нуля, базисными переменными остальные (n-r) неизвестных системы назовем свободными переменными. Придавая свободным переменным произвольные значения, можно найти соответствующие значения базисных переменных. В результате получим общее решение системы, включающее в себя все частные решения.

Пример. Найти общее решение данной неоднородной системы с исследованием её на совместимость. Выделить какое-нибудь частное решение.

Дано:

Решение. Здесь число уравнений m=3 , число неизвестных n=4,

- расширенная матрица, -вектор свободных членов, -искомый вектор. Вычислим сначала Rang A и Rang методом окаймляющих миноров: , Rang =3.

Т.к. ранги матриц A и равны, то система совместна и имеет бесконечно много решений, ибо ранг r =3 меньше числа неизвестных n =4. Неизвестные x₁,x₂,x₄ соответствуют базисным столбцам минора M₃ 0 . Примем их за базисные переменные, неизвестная переменная x₃ будет свободной.

Перепишем систему в виде:

Решим эту систему по правилу Крамера:

; ;

;

Тогда ; ;

Обозначим x₃=С, где С- произвольная постоянная , _.

Запишем общее решение в векторной форме

Получая, например, С=3, найдем частные ЛНС: X₁=148; X₂=-5/3; X₃=3; X₄=62.

Ответ: X_общее=(49С+1,-2C+13/3,C,62C/3),

X_{частное}=(148,-5/3,3,62).

3. Подпространства, образованные решениями линейной однородной системы (лос) уравнений. Нахождение общего решения лос

Рассмотрим линейную однородную систему m уравнений с n неизвестными

Здесь -матрица коэффициентов размерности m n, -неизвестный вектор, подлежащий определению.

Совокупность линейно независимых решений

, ,…, ЛОС уравнений называется фундаментальной системой решений (ФСР) , если любое решение этой системы может быть представлено в виде линейной комбинации этих векторов , ,…, : X=c₁ +c₂ +…+c_k , где c₁,c₂,…,c_k – любые константы. Последнее равенство является общим решением ЛОС уравнений в векторной форме ,т.к. в нём содержатся всевозможные частные решения при конкретных значениях произвольных постоянных c₁,c₂,…,c_k .